Đề thi Khảo sát HSG môn Toán 9 - Lần 3 - Năm học 2022-2023 - Trường TH&THCS Hồng Phương (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Khảo sát HSG môn Toán 9 - Lần 3 - Năm học 2022-2023 - Trường TH&THCS Hồng Phương (Có đáp án)

1. PHềNG GD&ĐT YấN LẠC ĐỀ THI KS HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2022 – 2023 TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG LẦN 3 – MễN TOÁN 9 Thời gian: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề. Chỳ ý: Học sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh cầm tay! 3 1 1 Bài 1 (3,0 điểm). Cho biểu thức: P ( ) : x 1 x 1 x 1 a) Rỳt gọn biểu thức P x 12 1 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức Q . x 1 P Bài 2 (4,0 điểm). a) Cho M (a2 2bc 1)(b2 2ca 1)(1 2ab c2 ) . Trong đú a,b,c là cỏc số hữu tỉ thỏa món ab bc ca 1. Chứng minh rằng: M là một số hữu tỉ. b) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p sao cho 8p2 1 và 8p2 1 là cỏc số nguyờn tố. Bài 3 (4,0 điểm). Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH . AB 3 a) Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng AH, BH biết BC 50cm và AC 4 b) Gọi D, E thứ tự là hỡnh chiếu của H trờn AB và AC . Chứng minh rằng: AH 3 BC.BD.CE . c) Giả sử BC 2a là độ dài khụng đổi. Tớnh giỏ trị nhỏ nhất của BD2 CE 2 . Bài 4 (3,0 điểm). Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH . Từ trung điểm E của AC vẽ EF vuụng gúc với BC tại F . Chứng minh rằng: BH.CH a) EF 2 b) AF BE.cosC 4 Bài 5 (2,0 điểm). Giải phương trỡnh: 2x2 5x 5 5x 1 Bài 6. (2,0 điểm). Trờn cựng một mặt phẳng cho 4037 điểm, biết rằng 3 điểm bất kỡ trong 4037 điểm trờn luụn chọn được hai điểm cú khoảng cỏch nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng trong cỏc điểm núi trờn cú ớt nhất 2019 điểm nằm trong đường trũn bỏn kớnh bằng 1. Bài 7 (2,0 điểm). Cho cỏc số dương a,b,c thỏa món điều kiện a b c 2019 . Tỡm giỏ trị lớn a b c nhất của biểu thức: P a 2019a bc b 2019b ca c 2019c ab Hết./. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm! Họ và tờn thớ sinh: . Số bỏo danh: . Phũng thi:
2. HDC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9, LẦN 3 NĂM HỌC 2022-2023 Mụn: TOÁN HDC này gồm: 03 trang Bài Nội dung trỡnh bày vắn tắt Điểm a) ĐKXĐ: x 0; x 1. 0,5 Ta cú: 3 1 1 3 x 1 1 P : : 0,5 ( x 1)( x 1) x 1 x 1 ( x 1)( x 1) x 1 ( x 2)( x 1) x 2 0,5 P ( x 1)( x 1) x 1 Bài 1 x 12 1 x 12 x 1 x 12 0,5 (3,0đ) b) Q . = . x 1 P x 1 x 2 x 2 x 12 x 4 x 4 ( x 2)2 Xột: Q 4 4 0,5 x 2 x 2 x 2 ( x 2)2 Do x 0; x 1 nờn Q 4 0, suy ra Q 4 x 2 Đẳng thức xảy ra khi x 2 0 x 4 0,5 Vậy min Q 4 xảy ra khi x 4 . a) Ta cú: a2 2bc 1 a2 2bc ab bc ca a2 ab bc ca (a b)(c a) 0,5 Tương tự: b2 2ca 1 (b c)(a b) 0,5 1 2ab c2 (c2 2ab 1) (b c)(c a) Do đú: M (a2 2bc 1)(b2 2ca 1)(1 2ab c2 ) (a b)(b c)(c a2 M (a b)(b c)(c a) 0,5 Do a,b,c là cỏc số hữu tỉ thỏa món nờn M (a b)(b c)(c a) là một số 0,5 hữu tỉ. +) Với p 2 thỡ 8p2 1 33 là hợp số. 0,5 Bài 2 2 2 0,5 (4,0đ) +) Với p 3 thỡ 8p 1 73 là số nguyờn tố và 8p 1 71 là số nguyờn tố p 3 thỏa món. +) Với p 3 . Xột 3 số tự nhiờn liờn tiếp là: 8p2 1;8p2 ;8p2 1 Trong 3 số tự nhiờn liờn tiếp cú một số chia hết cho 3, do p 3 nờn 8p2 0,5 khụng chia hết cho 3. Vậy trong 2 số 8p2 1;8p2 1 cú một số chia hết cho 3 mà 8p2 1 3 và 8p2 1 3 nờn cú ớt nhất 1 số là hợp số. Vậy p 3 . 0,5
3. A E D B H M C AB AC Đặt k 0 suy ra: AB 3k, AC 4k 3 4 Áp dụng định lý Py-ta-go ta cú: AB2 AC 2 BC 2 (3k)2 4k 2 502 k 2 100 k 10 nờn AB 30cm, AC 40cm 0,5 Xột ABC vuụng tại A cú: AB.AC 30.40 AH.BC AB.AC AH 24cm BC 50 AB2 302 AB2 BH.BC BH 18cm 0,5 BC 50 Áp dụng hệ thức b2 a.b', ta cú: AHB : BH 2 BD.AB Bài 3 AHC : CH 2 CE.AC (4,0đ) (BH.CH )2 BD.CE.AB.AC (*) 0,5 0,5 Trong ABC vuụng tại A lại cú: AH 2 BH.CH; AH.BC AB.AC 4 3 Thay vào (*) được: AH BD.CE.AH.BC AH BC.BD.CE (đccm). 0,5 Áp dụng định lý Py-ta-go cú: BD2 BH 2 HD2 ; CE 2 CH 2 HE 2 BD2 CE 2 (BH 2 CH 2 ) (HD2 HE 2 ) 0,5 BD2 CE 2 (AB2 AH 2 AC 2 AH 2 ) AH 2 BD2 CE 2 AB2 AC 2 3AH 2 BC 2 3AH 2 4a2 3AH 2 BC Gọi M là trung điểm của BC, ta cú: AH AM a 0,5 2 Do đú: BD2 CE 2 4a2 3AH 2 a2 2 2 2 Vậy BD CE nhỏ nhất bằng a xảy ra khi H  M hay ABC vuụng cõn 0,5 tại A .
4. A E C B H F Bài 4 (3,0đ) a) Xột AHC cú E là trung điểm của AC, EF / / AH (cựng vuụng gúc với 0,5 BC) nờn F là trung điểm của CH. AH AH 2 Do đú, EF là đường trung bỡnh của AHC nờn EF EF 2 2 4 0,5 AH 2 BH.CH Trong ABC lại cú: AH 2 BH.CH nờn EF 2 (đccm). 0,5 4 4 b) CA CF CA CF Trong ABC cú: cosC , trong FEC cú: cosC CB CE CB CE 0,5 Xột CFA và CEB cú: gúc C chung. CA CF 0,5 CB CE AF CF Do đú: CFA và CEB đồng dạng (c.g.c) nờn cosC BE CE AF BE.cosC (đccm). 0,5 Giải phương trỡnh: 2x2 5x 5 5x 1 1 0,5 ĐKXĐ x 5 2x2 5x 5 5x 1 2 x2 3x 2 x 1 5x 1 0 Bài 5 2 (2,0đ) x 1 2 5x 1 0,5 2 x2 3x 2 0 x 1 5x 1 2 2 x 3x 2 2 1 2 x 3x 2 0 x 3x 2 2 0 x 1 5x 1 x 1 5x 1 1 1 Với x thỡ 2 0 0,5 5 x 1 5x 1 2 x 1 Do đú x 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 2 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là: S 1;2 0,5
5. Gọi A là 1 trong 4037 điểm đó cho. Vẽ đường trũn tõm A bỏn kớnh là 1. Kớ hiệu (A,1). +) Nếu tất cả 4036 điểm cũn lại đều nằm trong đường trũn này thỡ bài toỏn được giải quyết. 0,5 +) Giả sử B nằm ngoài đường trũn (A,1). Khi đú, AB > 1, vẽ đường trũn tõm B bỏn kớnh bằng 1, kớ hiệu là B,1 . Gọi C là điểm điểm bất kỡ trong ( ) 0,5 Bài 6 4035 điểm cũn lại. (2,0đ) Do A,B,C là ba điểm bất kỡ và AB > 1 nờn theo giả thiết hoặc AC < 1 hoặc BC < 1. Nờn C nằm trong (A,1) hoặc (B,1). Do đú, 4035 điểm cũn 0,5 lại nằm trong (A,1) và (B,1). Theo nguyờn lớ Dirichlet một trong hai đường trũn này chứa ớt nhất ộ4035ự ờ ỳ+ 1 = 2018 điểm cũn lại nhưng tớnh cả điểm A hoặc B ta cú 1 đường ờ ỳ 0,5 ở 2 ỷ trũn trờn ớt nhất 2019 điểm. a b c P a 2019a bc b 2019b ca c 2019c ab 0,5 Xột 2019a bc (a b c)a bc (a b)a (a b)c (a b)(c a) Áp dụng BĐT Bunhicovski, ta cú: 2 2 2 2 2 (a b)(c a) ( a) ( b) ( c) ( a) ac ab 0,5 Do đú: a 2019a bc a ac ab a( a b c) a a a Bài 7 Suy ra: (2,0đ) a 2019a bc a( a b c) a b c 0,5 Chứng minh tương tự, ta cú: b b c c ; b 2019b ca a b c c 2019c ab a b c a b c P 1 a b c 0,5 Vậy maxP 1, xảy ra khi a b c 673 Lưu ý: Nội dung trỡnh bày trờn chỉ là vắn tắt và là một trong cỏc cỏch làm. Nếu HS giải theo cỏch khỏc đỳng thỡ GK vẫn chấm điểm tối đa. =============