Đề thi chính thức HSG Toán 9 - Lần 1 - Năm học 2023-2024 - Trường TH&THCS Hồng Phương (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chính thức HSG Toán 9 - Lần 1 - Năm học 2023-2024 - Trường TH&THCS Hồng Phương (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC ĐỀ THI KS HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2023 – 2024 TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG LẦN 1 – MÔN TOÁN 9 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. ĐỀ CHÍNH THỨC x y x 2y 4y2 x2 4xy 2y Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức: A 2 2 : 1 x 2y y x x xy 2y x y a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 2 2 b) Cho biết: x 2016y 2017xy . Hãy tính giá trị của biểu thức A. Câu 2. (5,0 điểm) 2- 3 + 4- 15 + 10 a) Thực hiện phép tính: B = 23- 3 5 3 2 4 9 b) Giải phương trình: x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 16x2 8x 1 16x2 24x 9 Câu 3. ( 4,0 điểm) 2 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x 5y 255 b) Cho a, b và c là ba số dương thoả mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3 2 Câu 4. (6,0 điểm) Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF. a) Chứng minh rằng: AE  BC. 1 1 1 2 2 2 b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng: MH MD MF c) Gọi I là giao điểm của AC và DF, kẻ IK vuông góc với AB. Biết MD = 6 2 cm, MF = 3 2 cm. Tính độ dài đoạn thẳng IK. Câu 5. ( 1,0 điểm) Trên cùng một mặt phẳng cho 4037 điểm, biết rằng 3 điểm bất kì trong 4037 điểm trên luôn chọn được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng trong các điểm nói trên có ít nhất 2019 điểm nằm trong đường tròn bán kính bằng 1. -------------HẾT------------ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh......................................................................SBD:.................phòng thi.............
2. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC HDC ĐỀ THI KS HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2023 – 2024 TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG LẦN 1 – MÔN TOÁN 9 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu Nội dung Điểm 0,25 ĐKXĐ: x y; x y; x 2y x y x 2y 4y2 x2 4xy 2y A 2 2 : 1 0,25 x 2y x y x xy 2y x y 2 2 2 2 2 x y x 4y 4y x 4xy x y A : 0,5 a x y x 2y x y 2 x y x y A . 0,5 x y x 2y x y 2 x y x y x y A . 0,5 1 x y x 2y x y x 2y 2 2 x y x 2016y 0 Ta có: x 2016y 2017xy 0,5 x y 0,5 x 2016y x y b 0,25 Từ điều kiện, ta có khẳng định x 2016y 2017y 2017 A = 0,5 Khi đó: 2018y 2018 2017 A = 0,25 Vậy: 2018 2( 2- 3 + 4- 15 + 10) Ta có: B = 0,5 2( 23- 3 5) 4- 2 3 + 8- 2 15 + 2 5 2 B = 0,5 46- 6 5 a 2 2 ( 3 - 1) + ( 5 - 3) + 2 5 B = 0,5 2 (3 5 - 1) 3 - 1+ 5 - 3 + 2 5 B = 0,25 3 5 - 1 3 5 - 1 B = = 1 0,25 3 5 - 1 2 ĐKXĐ: x ≠ -1; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ 3 0,25 3 2 4 9 Ta có: b x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 0,25 3 2 4 9 x 1 x 4 x 4 x 6 3 x 3 x 6
3. 1 1 1 1 4 1 1 0,25 x 1 x 4 x 4 x 6 3 x 3 x 6 1 4 1 3 x 3 4 x 1 x 3 3 x 1 0,25 x 1 3 x 3 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 4x2 8x 0 4x x 2 0 x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trình: S = { 0;2 } 0,25 Ta có: C = 16x2 8x 1 16x2 24x 9 C = (4x 1)2 (3 4x)2 0,5 C = 4x 1 3 4x 4x 1 3 4x 4 0,5 c 1 3 C = 4 (4x 1)(3 4x) 0 x 0,25 4 4 1 3 Vậy GTNN của C là 4 khi x 0,25 4 4 Ta có: 3x2 5y2 255 3x2 255 -5y2 0,25 85 x 85;do x ¢ -9 x 9 (1) 0, 5 Mặt khác: vì 5y2 5;2555 3x2 5 x2 5 x5 (2) 0,25 3 a Từ (1) & (2) x 5;0;5 0,25 Với x 5 y 6 Với x 0 y2 51 (loại) 0,5 Với x 5 y 6 Vậy (x;y) = (-5;6),(-5;-6),(5;6),(5;-6) 0,25 Ta có: a2 2b2 3 (a2 b2 ) (b2 1) 2 2ab 2b 2 0,25 Tương tự:b2 2c2 3 2bc 2c 2 , c2 2a2 3 2ac 2a 2 0,25 1 1 1 1 1 1 1 ( ) Suy ra: a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3 2 ab b 1 bc c 1 ac a 1 0,5 1 1 1 1 ab b Ta có : 0,5 3 b ab b 1 bc c 1 ac a 1 ab b 1 b 1 ab 1 ab b ab b 1 1 0,25 ab b 1 1 1 1 1 1 .1 Vậy: 2 2 2 2 2 2 a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3 2 2 0,25 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 D C I H O F Ta có hình vẽ: E 4 A K M B Chứng minh được: ∆AME = ∆CMB (c-g-c) E·AM = B·CM 1,0 a Mà B·CM + M·BC = 900 E·AM + M·BC = 900 A·HB = 900 0,75
4. Vậy AE  BC 0,25 Gọi O là giao điểm của AC và DM. 1 1 ∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến HO AC DM 0,25 b 2 2 ∆DHM vuông tại H D·HM = 900 0,25 Chứng minh tương tự, ta có: M·HF = 900 0,25 Suy ra: D·HM + M·HF = 1800 ba điểm D, H, F thẳng hàng. 0,5 b Chỉ ra được ∆DMF vuông tại M, đường cao MH 0,25 1 1 1 2 2 2 0,5 Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào ∆DMF, ta có: MH MD MF Ta có: D·MF = 900 MF  DM mà IO  DM IO // MF 0,25 4 Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF 0,25 Vì IK  AB (K AB) nên IK // AD // BF IK là đường trung bình của hình thang 0,5 ABFD AD BF AM BM c IK 0,5 2 2 Áp dụng định lý Pitago vào hai tam giác vuông cân AMD và BMF, tính được: AM = 0,25 6cm ; BM = 3cm. AM BM 6 3 Vậy IK 4,5cm 0,25 2 2 Gọi A là 1 trong 4037 điểm đã cho. Vẽ đường tròn tâm A bán kính là 1. Kí hiệu (A,1). 0,25 +) Nếu tất cả 4036 điểm còn lại đều nằm trong đường tròn này thì bài toán được giải quyết. +) Giả sử B nằm ngoài đường tròn (A,1). Khi đó, AB > 1, vẽ đường tròn tâm B bán 0,25 kính bằng 1, kí hiệu là B,1 . Gọi C là điểm điểm bất kì trong 4035 điểm còn lại. 5 ( ) Do A,B,C là ba điểm bất kì và AB > 1 nên theo giả thiết hoặc AC < 1 hoặc BC < 1. Nên C nằm trong (A,1) hoặc (B,1). Do đó, 4035 điểm còn lại nằm trong 0,25 (A,1) và (B,1). Theo nguyên lí Dirichlet một trong hai đường tròn này chứa ít nhất ퟒ + = 0,25 điểm còn lại nhưng tính cả điểm A hoặc B ta có 1 đường tròn trên ít nhất 2019 điểm. Lưu ý: - Nếu học sinh làm bài theo cách khác hướng dẫn chấm mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa của bài đó. - Đối với bài hình học, nếu học sinh vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không được tính điểm.