108 Bài Toán chọn lọc Lớp 7

Nội dung tài liệu: 108 Bài Toán chọn lọc Lớp 7

1. TS. Nguy¹n V«n Lñi (chõ bi¶n)-Ths. Hoàng V«n Tựu 108 BÀI TOÁN CHÅN LÅC LÎP 7 Draft
2. Đôi lời với c¡c b¤n đọc Tài li»u này được bi¶n so¤n bao gồm nhúng bài to¡n được sưu t¦m và lựa chọn tø nhúng tài li»u, gi¡o tr¼nh có uy t½n, được nhi·u người ưa th½ch. Bao gồm c¡c bài to¡n chõ y¸u dành cho nhúng học sinh kh¡, giỏi. Với phương ch¥m, học vøa đủ nhưng méi ngày méi ti¸n bë. Đồng thời, nh¬m giúp quý phụ huynh, quý th¦y, cô và c¡c em học sinh có tài li»u tèt để tham kh£o. Trong tài li»u này, chúng tôi tr½ch lời gi£i mët sè bài to¡n hay để mọi người cùng tham kh£o. Vi»c bi¶n so¤n r§t có thº có nhúng sai sót không đáng có, chúng tôi mong nhªn được ý ki¸n góp ý cõa quý vị. Xin ch¥n thành c¡m ơn! 2
3. Mục lục 1 SÈ HÅC VÀ ĐẠI SÈ 4 1.1 T¿ l» thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Bài to¡n có nëi dung t½nh to¡n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Bài to¡n có nëi dung chùng minh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hàm sè và đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 T¿ l» thuªn và t¿ l» nghịch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Hàm sè và đồ thị cõa hàm sè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Biºu thùc đại sè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 HÌNH HÅC 10 2.1 Quan h» vuông góc và quan h» song song. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 C¡c trường hñp b¬ng nhau cõa hai tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 C¡c bài to¡n dựng h¼nh cơ b£n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Quan h» giúa c¡c y¸u tè trong tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Quan h» c¡c đường th¯ng đồng quy trong tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . 15 2.5.1 Ba đường trung tuy¸n cõa tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5.2 Ba đường ph¥n gi¡c cõa tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5.3 Ba đường trung trực cõa tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5.4 Ba đường cao cõa tam gi¡c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 C¡c bài to¡n có nëi dung t½nh góc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 LÍI GIẢI MËT VÀI BÀI CHÅN LÅC 18 3
4. Chương 1 SÈ HÅC VÀ ĐẠI SÈ 1.1 T¿ l» thùc 1.1.1 Bài to¡n có nëi dung t½nh to¡n. Bài 1.1.1 T¼m x trong c¡c t¿ l» thùc sau: x − 3 5 7 x + 1 a) = : b) = : x + 5 7 x − 1 9 x + 4 5 x − 1 x − 2 c) = : d) = : 20 x + 4 x + 2 x + 3 Bài 1.1.2 T¼m x; y; z bi¸t : x y z a. = = và x − 3y + 4z = 62: 4 3 9 x 9 y 7 b. = ; = và x − y + z = −15: y 7 z 3 x 7 y 5 c. = ; = và 2x + 5y − 2z = 100: y 20 z 8 12x − 15y 20z − 12x 15y − 20z d. = = và x + y + z = 48: 7 9 11 Bài 1.1.3 T¼m x; y; z bi¸t : a. 5x = 8y = 20z và x − y − z = 3: 6 9 18 b. x = y = z và −x + y + z = −120: 11 2 5 x y z c. = = và xyz = 20: 12 9 5 4
5. Sigma - MATHS x y z d. = = và x2 + y2 − z2 = 65: 5 7 3 x + 2y − 3z Bài 1.1.4 Cho biºu thùc P = . T½nh gi¡ trị cõa P bi¸t c¡c sè x; y; z t¿ l» x − 2y + 3z với c¡c sè 5, 4, 3. Bài 1.1.5 Mët khu vườn h¼nh chú nhªt có di»n t½ch là 300m2, hai c¤nh t¿ l» với 4 và 3. T½nh chi·u dài và chi·u rëng cõa khu vườn. 3 Bài 1.1.6 T¼m hai ph¥n sè tèi gi£n bi¸t hi»u cõa chúng là , c¡c tû t¿ l» với 3 và 5; 196 c¡c m¨u t¿ l» với 4 và 7. 1 1 Bài 1.1.7 Ba kho có t§t c£ 710 t§n thóc. Sau khi chuyºn đi sè thóc ở kho I, sè thóc 5 6 1 ở kho II và sè thóc ở kho III th¼ sè cán l¤i ở ba kho b¬ng nhau. Hỏi lúc đầu méi kho 11 có bao nhi¶u t§n thóc? Bài 1.1.8 Cho d¢y t¿ sè b¬ng nhau (Gi£ thi¸t r¬ng M có nghĩa): 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = . a b c d a + b b + c c + d d + a T¼m gi¡ trị cõa biºu thùc M; bi¸t M = + + + : c + d d + a a + b b + c 1.1.2 Bài to¡n có nëi dung chùng minh. a + 5 b + 6 a 5 Bài 1.1.9 Cho = (a 6= 5; b 6= 6). Chùng minh = : a − 5 b − 6 b 6 a c a − b c − d Bài 1.1.10 Cho t¿ l» thùc = 6= 1 với a; b; c; d 6= 0: Chùng minh r¬ng: = : b d a c a x b y a2 x Bài 1.1.11 Cho = ; = : Chùng minh r¬ng: = : k a k b b2 y bd a c Bài 1.1.12 Cho a = b + c và c = ; b 6= 0; d 6= 0. Chùng minh r¬ng: = : b − d b d a c 3 5a + 3b 5a − 3b Bài 1.1.13 Cho = (c 6= ± d): Chùng minh r¬ng: = : b d 5 5c + 3d 5c − 3d a c Bài 1.1.14 Cho = 6= ± và c 6= 0. Chùng minh r¬ng: b d a − b2 ab a. = : c − d cd a + b3 a3 − b3 b. = : c + d c3 − d3 5
6. Sigma - MATHS a b a2 + b2 ab Bài 1.1.15 Chùng minh r¬ng = th¼ = . c d c2 + d2 cd a2 + b2 a Bài 1.1.16 Cho b2 = ac: Chùng minh r¬ng = : b2 + c2 c Bài 1.1.17 Cho b2 = ac; c2 = bd; với b; c; d 6= 0; b + c 6= d; b3 + c3 6= d3: a3 + b3 − c3 a + b − c3 Chùng minh r¬ng: = : b3 + c3 − d3 b + c − d Bài 1.1.18 Cho c¡c sè A; B; C t¿ l» với c¡c sè a; b; c. Chùng minh r¬ng gi¡ trị cõa biºu Ax + By + Cz thùc Q = không phụ thuëc vào gi¡ trị cõa x và y. ax + by + cz ax + by Bài 1.1.19 Cho biºu thùc M = với c; d 6= 0. Chùng minh r¬ng n¸u gi¡ trị cõa cx + dy biºu thùc M không phụ thuëc vào x và y th¼ bèn sè a; b; c; d lªp thành mët t¿ l» thùc. a2 + b2 ab a c Bài 1.1.20 Cho = với a; b; c; d 6= 0; c 6= ±d: Chùng minh r¬ng hoặc = c2 + d2 cd b d a b hoặc = : d c 1.2 Hàm sè và đồ thị. 1.2.1 T¿ l» thuªn và t¿ l» nghịch. Bài 1.2.1 Vi¸t công thùc biºu thị sự phụ thuëc giúa: a Chu vi C cõa h¼nh vuông c¤nh x. b Chu vi C cõa đường trán b¡n k½nh R: c Di»n t½ch S cõa h¼nh chú nhªt có mët c¤nh là 5(cm) và c¤nh cán l¤i là x(cm). d Di»n t½ch S cõa h¼nh tam gi¡c có c¤nh đáy là 4(cm) và chi·u cao là h(cm). e Chi·u dài cõa mët h¼nh chú nhªt có di»n t½ch là 12(cm2) và mët c¤nh có độ dài là x(cm). f Đường cao cõa mët h¼nh tam gi¡c có di»n t½ch là 10(cm2) và c¤nh đ¡y có độ dài là x(cm). Bài 1.2.2 Mët công nh¥n ti»n 30 đinh èc c¦n 45 phút. Hỏi trong 1h45 phút, người đó ti»n được bao nhi¶u đinh èc. Bài 1.2.3 Mët con ngựa «n h¸t mët xe cỏ trong 4 ngày. Mët con d¶ «n h¸t mët xe cỏ trong 6 ngày. Mët con cøu «n h¸t mët xe cỏ trong 12 ngày. Hỏi c£ ba con «n h¸t mët xe cỏ trong bao l¥u. 6
7. Sigma - MATHS Bài 1.2.4 Vªn tèc ri¶ng cõa ca nô là 21 km/h, vªn tèc dáng sông là 3 km/h. Hỏi với thời gian ca nô ch¤y ngược dáng được 30 km/h th¼ ca nô ch¤y xuôi dáng đưñc bao nhi¶u km? Bài 1.2.5 Hai bà buôn g¤o h¸t cùng mët sè ti·n. Bà thù nh§t mua lo¤i 4000 đồng/kg, bà thù hai mua lo¤i 4800 đồng/kg. Bi¸t bà thù nh§t mua nhi·u hơn bà thù hai là 2kg. Hỏi méi bà mua bao nhi¶u kilogam g¤o? Bài 1.2.6 Mët ô tô dự định ch¤y tø A đến B trong thời gian nh§t định. N¸u xe ch¤y với vªn tèc 54 km/h th¼ đến nơi sớm hơn 1 giờ. N¸u ch¤y với vªn tèc 63 km/h th¼ đến nơi sớm hơn 2 giờ. T½nh qu¢ng đường AB và thời gian dự định đi. Bài 1.2.7 Để làm xong mët công vi»c th¼ 21 công nh¥n c¦n làm trong 15 ngày. Do c£i ti¸n công cụ lao động n¶n n«ng xu§t lao động cõa méi người t«ng th¶m 25%. Hỏi 18 công nh¥n làm trong bao l¥u th¼ xong công vi»c §y. 1.2.2 Hàm sè và đồ thị cõa hàm sè. Bài 1.2.8 Mët chi¸c tàu ng¦m ch¤y với vªn tèc không đổi là 37 km/h ở độ s¥u 100 m so với mực nước biºn. a. Vi¸t hàm sè f mô t£ sự phụ thuëc giúa qu¢ng đường s (t½nh b¬ng km) và thời gian t (t½nh b¬ng giờ) mà tàu ng¦m đã đi. b. Vi¸t hàm sè g mô t£ sự phụ thuëc giúa độ s¥u h (t½nh b¬ng m) cõa tàu ng¦m so với mực nước biºn và thời gian t (t½nh b¬ng giờ). T½nh g(2); g(3; 5). Bài 1.2.9 Cho hàm sè f(x) = 4x2 − 5: −1 a. T½nh f(3); f( ): 2 b. T¼m x để f(x) = −1: c. Chùng tỏ r¬ng với x 2 R th¼ f(x) = f(−x): Bài 1.2.10 Vi¸t công thùc cõa hàm sè y = f(x) bi¸t r¬ng y t¿ l» thuªn với x theo h» sè 1 t¿ l» : 2 a. T½nh x để f(x) = −5: b. Chùng tỏ r¬ng n¸u x1 > x2 th¼ f(x1) > f(x2): Bài 1.2.11 Vi¸t công thùc cõa hàm sè y = f(x) bi¸t r¬ng y t¿ l» nghịch với x theo h» sè t¿ l» 12 a. T½nh x để f(x) = 4; f(x) = 0: b. Chùng tỏ r¬ng f(−x) = −f(x). −1 Bài 1.2.12 Cho hàm sè y = x: 3 7
8. Sigma - MATHS a. V³ đồ thị hàm sè. b. Trong c¡c điểm M(−3; 1);N(6; 2);P (9; −3) điểm nào thuëc đồ thị hàm sè (không v³ l¶n đồ thị). Bài 1.2.13 V³ gi¡ trị hàm sè y = f(x) = 0:5x với −2 ≤ x ≤ 6. V³ đồ thị hàm sè rồi dùng đồ thị để t¼m gi¡ trị lớn nh§t, gi¡ trị nhỏ nh§t cõa hàm sè này. 18 Bài 1.2.14 Cho c¡c hàm sè y = f(x) = 2x và y = g(x) = : Không v³ đồ thị cõa x chúng, h¢y t½nh tọa độ giao điểm cõa hai đồ thị. 1.3 Biºu thùc đại sè. Bài 1.3.1 T½nh gi¡ trị cõa c¡c biºu thùc sau: p a. A = (x + 1)(x2 − 2) t¤i x = 2: 2x2 + 3x − 2 b. B = t¤i jxj = 3: x + 2 1 1 c. C = 9x2 − 7xjyj − y3 t¤i x = ; y = −6: 4 3 5x2 + 3y2 x y d. D = với = : 10x2 − 3y2 3 5 z x y e. E = (1 + )(1 + )(1 + ) với x; y; z 6= 0; x + y + z = 0: x y z Bài 1.3.2 Thu gọn c¡c đơn thùc sau rồi x¡c định h» sè, ph¦n bi¸n, và bªc cõa đơn thùc (a, b, c là h¬ng sè). −3  a. A = (2a3b2x4y)3: b5x2y2z3 : 10 −1 5 b. (a − 1)x3y4z2 : 2 c. (a5b2xy2zn−1)(−b3cx4z7−n): −9  −5 3 d. a3x2y : ax5y2z : 10 3 Bài 1.3.3 Cho ba đơn thùc A = ab2x4y3;B = ax4y3;C = b2x4y3: Nhúng đơn thùc nào đồng d¤ng với nhau n¸u: a. a; b là h¬ng sè kh¡c 0, x; y là bi¸n. b. a là h¬ng sè kh¡c 0, b; x; y là bi¸n. 8
9. Sigma - MATHS c. b là h¬ng sè kh¡c 0, a; x; y là bi¸n. Bài 1.3.4 Thu gọn c¡c đơn thùc sau rồi x¡c định bªc cõa đơn thùc(a, b là c¡c h¬ng sè). a. A = ax4y3 + 10xy2 + 4y3 − 2x4y3 − 3xy2 + bx3y4: b. B = 4x(x + y) − 5(y(x − y)) − 4x2: c. C = (a − 1)(x2 + 1) − x(y + 1) + x + y2 − a + 1: 7   6  −1  d. D = x3y2 : axy3 + (−5bx2y4) axz + ax(x2y)3: 9 11 2 1  (3x4y3)2: x2y + (8xn−9):(−2x9−n) 6 e. E = : 15x3y2(0; 4ax2y2z2) Bài 1.3.5 T¼m nghi»m cõa c¡c đa thùc: a. (x − 3)(4 − 5x): b. x2 − 2: c. x2 + 3: d. x2 + 2x: e. x2 − 4x + 4: f. x2 + 2x − 3: Bài 1.3.6 Thu gọn rồi t¼m nghi»m cõa c¡c đa thùc sau: a. f(x) = x(1 − 2x) + (2x2 − x + 4): b. g(x) = x(x − 5) − x(x + 2) + 7x: c(∗) h(x) = x(x − 1) + 1: Bài 1.3.7 X¡c định h» sè m để c¡c đa thùc sau nhªn 1 là nghi»m. a. mx2 + 2x + 8: b. 7x2 + mx − 1: c. x10 − 3x2 + m: Bài 1.3.8 Cho c¡c đa thùc f(x) = ax + b; g(x) = bx + a: Chùng minh r¬ng n¸u x0 là 1 nghi»m cõa f(x) th¼ là nghi»m cõa g(x): x0 Bài 1.3.9 Cho bi¸t (x − 1)f(x) = (x + 4)f(x + 8) thỏa m¢n với mọi x. Chùng minh r¬ng f(x) có ½t nh§t hai nghi»m. n n−1 Bài 1.3.10 Cho đa thùc f(x) = ax + an−1x + ::: + a1x + a0. H¢y ch¿ ra điều ki»n cõa c¡c h» sè cõa đa thùc tr¶n đº: a. f(x) nhªn x = 1 là nghi»m. b. f(x) nhªn x = −1 là nghi»m. 9
10. Chương 2 HÌNH HÅC 2.1 Quan h» vuông góc và quan h» song song. Bài 2.1.1 Tr¶n h¼nh v³ tr¶n cho bi¸t xAC[ + ACD\ + CDy[ = 3600. Chùng minh r¬ng Ax==Dy: Bài 2.1.2 Tr¶n h¼nh v³ b¶n cho bi¸t xAC[ + yBC[ − ACB[ = 1800. Chùng minh r¬ng Ax==By: Bài 2.1.3 Tr¶n h¼nh v³ b¶n cho bi¸t ACB[ > xAC;[ Ax==By. Chùng minh r¬ng ACB[ = xAC[ + CBy:[ Bài 2.1.4 Bi¸t Ax==By và yBC[ > ACB:[ Chùng minh r¬ng yBC[ = xAC[ + ACB:[ 10
11. Sigma - MATHS Bài 2.1.5 Bi¸t Ax==Cy và xAB[ + ABC[ > 1800: Chùng minh r¬ng xAB[ + ABC[ + BCy[ = 3600: Bài 2.1.6 Bi¸t Ax==By và ACB[ < yBC:[ Chùng minh r¬ng xAC[ + yBC[ − ACB[ = 1800: Bài 2.1.7 Bi¸t xAC[ + ACD\ − CDy[ = 1800: Chùng minh r¬ng Ax==Cy: Bài 2.1.8 Bi¸t Az==Bt: Chùng minh r¬ng xOyd = xAzd +yBt:d Bài 2.1.9 Bi¸t Ax==Cy: Chùng minh r¬ng xAB[ + ABC[ − BCy[ = 1800: Bài 2.1.10 Bi¸t AB?AC và ACD\ = 1100; CDE\ = 550; DEF\ = 350: Chùng minh r¬ng AB==EF: 2.2 C¡c trường hñp b¬ng nhau cõa hai tam gi¡c. Bài 2.2.1 Nh¼n vào b£ng h¢y ch¿ ra nhúng cặp tam gi¡c b¬ng nhau. 11
12. Sigma - MATHS a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 12
13. Sigma - MATHS k) l) Bài 2.2.2 Cho h¼nh v³ có AB = CD; AD = BC. Chùng minh AB==CD; AD==BC: Bài 2.2.3 Cho h¼nh v³ có AB==CD; AB = CD. Chùng minh AD = BC và AD==BC: Bài 2.2.4 Cho tam gi¡c ABC có M; N l¦n lượt là trung điểm cõa AB; AC. Chùng minh BC MN==BC và MN = : 2 Bài 2.2.5 Cho tam gi¡c ABC c¥n t¤i A: M là trung điểm cõa BC. Chùng minh AB?AC. Bài 2.2.6 Cho tam gi¡c ABC vuông t¤i A: M là trung điểm cõa BC. Chùng minh BC BC AM = : Tø đó h¢y ch¿ ra r¬ng: N¸u Bb = 300 th¼ AC = : 2 2 Bài 2.2.7 Cho tam gi¡c ABC có AD?AB; AD = AB; AC?AE; AC = AE: M là trung DE điểm BC. Chùng minh AM = và DE?DE: 2 Bài 2.2.8 Cho góc xAy = 600; Az là tia ph¥n gi¡c cõa góc xAy; BC==Ay: Chùng minh 2BD = AC: Bài 2.2.9 Cho tam gi¡c ABC có BC = 2AB; MB = MC; DB = DM: Chùng minh AC = 2AD. Bài 2.2.10 Cho xAyd = 900; Oz là tia ph¥n gi¡c cõa góc xOy;d AB?Ox; AC?Oy; AE là tia ph¥n gi¡c cõa góc CAD\. Chùng minh AD = CE + BD: 13
14. Sigma - MATHS 2.3 C¡c bài to¡n dựng h¼nh cơ b£n. Bài 2.3.1 Dựng tia ph¥n gi¡c cõa mët góc cho trước. Bài 2.3.2 Dựng đường trung trực cõa mët đoạn th¯ng cho trước. Bài 2.3.3 Dựng trung điểm cõa mët đoạn th¯ng cho trước. Bài 2.3.4 Dựng đường th¯ng qua điểm A và vuông góc với đường th¯ng d trong c¡c trường hñp sau. a. A 2 d: b. A2 = d: Bài 2.3.5 Dựng đường th¯ng qua điểm M không thuëc d và song song với đường th¯ng d. Bài 2.3.6 Dựng tam gi¡c bi¸t độ dài ba c¤nh cho trước. Bài 2.3.7 Dựng mët tam gi¡c bi¸t hai c¤nh và mët góc xen giúa hai c¤nh đó. Bài 2.3.8 Dựng mët tam gi¡c bi¸t hai c¤nh và mët góc xen giúa hai c¤nh đó. Bài 2.3.9 Dựng mët tam gi¡c bi¸t hai góc k· nhau và mët c¤nh chung cõa hai góc đó. Bài 2.3.10 Cho tam gi¡c ABC. Dựng mët điểm thỏa m¢n c¡c trường hñp sau: a. C¡ch đều ba c¤nh cõa mët tam gi¡c ABC. b. C¡ch đều ba đ¿nh cõa tam gi¡c ABC: 2.4 Quan h» giúa c¡c y¸u tè trong tam gi¡c. Bài 2.4.1 Cho tam gi¡c ABC với M là trung điểm cõa BC. Chùng minh r¬ng BAM\ < MAC\ khi và ch¿ khi AB < AC: Bài 2.4.2 Cho tam gi¡c ABC với M là trung điºm BC. Chùng minh AB + AC > 2AM: Bài 2.4.3 Cho hai tam gi¡c ∆ABC và ∆A0B0C0 và AB = A0B0; AC = A0C0. Chùng minh r¬ng BC > B0C0 khi và ch¿ khi Ab > Ab0: Bài 2.4.4 Cho tam gi¡c ABC có BD?AC; AB?CE; (D 2 AC; E 2 AB). Chùng minh AB − AC > BD − CE Bài 2.4.5 Cho tam gi¡c ABC c¥n t¤i A, tr¶n c¤nh AB l§y điểm D, tr¶n tia đối cõa tia CA l§y điểm E sao cho BD = CE: Chùng minh r¬ng BC < DE: 14
15. Sigma - MATHS Bài 2.4.6 Cho tam gi¡c ABC, điểm M n¬m trong tam gi¡c ABC: Chùng minh MB + MC < AB + AC: Bài 2.4.7 Cho hai điểm B; C n¬m tr¶n đoạn th¯ng AD sao cho AB = CD; M là điểm n¬m ngoài đoạn th¯ng AD: Chùng minh MA + MD > MB + MC: Bài 2.4.8 Cho góc xAyd = 600;B n¬m tr¶n tia Ax, C n¬m tr¶n tia Ay. Chùng minh r¬ng AB + AC ≤ 2BC: Bài 2.4.9 Cho tam gi¡c ABC vuông t¤i A, v³ AH?BC t¤i H. Chùng minh r¬ng BC + AH > AB + AC: Bài 2.4.10 Cho tam gi¡c ∆ABC có BC là c¤nh lớn nh§t và M là trung điểm cõa AC: Điểm D n¬m tr¶n đoạn BM(D 6= B). Chùng minh BDC\ > 900. 2.5 Quan h» c¡c đường th¯ng đồng quy trong tam gi¡c. 2.5.1 Ba đường trung tuy¸n cõa tam gi¡c. Bài 2.5.1 Cho tam gi¡c ABC, đường cao AH. Tr¶n tia đối cõa tia HA l§y điểm D sao cho HA = HD. Tr¶n tia đối cõa tia CB l§y điểm E sao cho CE = CB: a. Chùng minh r¬ng C là trọng t¥m tam gi¡c ADE: b. Tia AC c­t DE t¤i M: Chùng minh r¬ng AE==HM: Bài 2.5.2 Cho tam gi¡c ABC; trung tuy¸n AM. Chùng minh r¬ng BC a. N¸u AM < th¼ Ab tù. 2 BC b. N¸u AM = th¼ Ab vuông. 2 BC c. N¸u AM > th¼ Ab nhọn. 2 Bài 2.5.3 Cho tam gi¡c ABC có hai đường trung tuy¸n BM và CN. Bi¸t AB < AC. Chùng minh r¬ng BM < CN: Bài 2.5.4 Chùng minh r¬ng trong mët tam gi¡c, têng độ dài ba đường trung tuy¸n lớn 3 hơn chu vi và nhỏ hơn chu vi tam gi¡c đó. 4 Bài 2.5.5 Cho tam gi¡c ABC. Tr¶n nûa mặt ph¯ng bờ BC không chùa điểm A; v³ tia Bx. Tr¶n nûa mặt ph¯ng bờ BC có chùa điểm A, v³ tia Cy sao cho Cy==Bx: Tr¶n Bx; Cy l¦n lượt l§y hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi G là trọng t¥m tam gi¡c ABC. Chùng minh G cũng là trọng t¥m tam gi¡c ADE: 15
16. Sigma - MATHS 2.5.2 Ba đường ph¥n gi¡c cõa tam gi¡c. Bài 2.5.6 Cho tam gi¡c ABC. Chùng minh r¬ng hai đường ph¥n gi¡c ngoài cõa góc B và góc C cùng với đường ph¥n gi¡c trong góc A đồng quy. Bài 2.5.7 Cho góc xOy. L§y điểm A tr¶n Ox, l§y điºm B tr¶n Oy. V³ c¡c tia ph¥n gi¡c cõa c¡c góc BAx và ABy c­t nhau t¤i M: Tø M v³ mët đường th¯ng vuông góc với OM c­t Ox; Oy t¤i C và D. Chùng minh tam gi¡c OCD c¥n. Bài 2.5.8 Cho tam gi¡c ABC có Bb = 1200; ph¥n gi¡c BD và CE: Đường th¯ng chùa tia ph¥n gi¡c ngoài t¤i đỉnh A cõa tam gi¡c ABC c­t đường th¯ng BC t¤i F: Chùng minh r¬ng ADF\ = BDF\ và D; E; F th¯ng hàng. Bài 2.5.9 Cho tam gi¡c ABC, c¡c tia ph¥n gi¡c góc B và C c­t nhau t¤i O. Tø A v³ đường th¯ng vuông góc với OA c­t c¡c tia BO và CO l¦n lượt t¤i M và N: Chùng minh BM?BN và CM?CN: Bài 2.5.10 Cho tam gi¡c ABC; Bb = 450; đường cao AH; ph¥n gi¡c BD: Cho bi¸t BDA\ = 450: Chùng minh r¬ng HD==AB: 2.5.3 Ba đường trung trực cõa tam gi¡c. Bài 2.5.11 Cho tam gi¡c ABC: Tr¶n c¤nh CA l§y điểm E sao cho CE = AB: C¡c đường trung trực cõa BE và AC c­t nhau t¤i O. Chùng minh r¬ng: a. ∆AOB = ∆COE: b. AO là tia ph¥n gi¡c cõa góc A: Bài 2.5.12 Cho tam gi¡c ABC. T¼m điểm E thuëc đường ph¥n gi¡c cõa góc ngoài t¤i đỉnh A sao cho tam gi¡c EBC có chu vi nhỏ nh§t. Bài 2.5.13 Cho tam gi¡c nhọn ABC. T¼m điểm M thuëc BC sao cho n¸u v³ c¡c điểm D; E trong đó AB là đường trung trực cõa MD; AC là đường trung trực cõa ME th¼ DE có độ dài nhỏ nh§t. Bài 2.5.14 Cho điểm A n¬m trong góc nhọn xOy:d T¼m điểm B thuëc tia Ox; điểm C thuëc tia Oy sao cho ABC có chu vi nhỏ nh§t. Bài 2.5.15 Cho tam gi¡c ABC c¥n t¤i A: Điểm D; E theo thù tự di chuyºn tr¶n c¤nh AB và AC sao cho AD = CE: Chùng minh r¬ng c¡c đường trung trực cõa DE luôn đi qua mët điểm cè định. 2.5.4 Ba đường cao cõa tam gi¡c. Bài 2.5.16 Cho tam gi¡c ABC c¥n t¤i A; trung tuy¸n AM, đường cao BE: Tr¶n tia BE l§y điºm F sao cho BF = CE: Chùng minh r¬ng ba đường th¯ng BE; CF và AM cùng đi qua mët điểm. 16
17. Sigma - MATHS Bài 2.5.17 Cho tam gi¡c nhọn ABC;hai đường cao BD; CE gặp nhau t¤i H: V³ điºm K sao cho AB là trung trực cõa HK: Chùng minh r¬ng KAB\ = KCB:\ Bài 2.5.18 Tam gi¡c ABC có c¤nh BC là c¤nh lớn nh§t. Tr¶n c¤nh BC l§y điểm D và E sao cho BD = BA và CE = CA: Tia ph¥n gi¡c cõa góc B c­t AE t¤i M:Tia ph¥n gi¡c cõa góc C c­t AD t¤i N. Chùng minh r¬ng tia ph¥n gi¡c cõa góc BAC vuông góc với MN: Bài 2.5.19 Cho tam gi¡c ABC vuông t¤i A; v³ đường cao AH: Gọi M; N l¦n lượt là trung điểm cõa AH và HC: Chùng minh r¬ng BM?AN: Bài 2.5.20 Cho tam gi¡c ABC đường cao AH: Tr¶n nûa mặt ph¯ng chùa điểm A bờ là đường th¯ng BC l§y điểm D; E sao cho BD?BA; BD = BA; CE?CA; CE = CA: Chùng minh r¬ng c¡c đường th¯ng AH; BE; CD đồng quy. 2.6 C¡c bài to¡n có nëi dung t½nh góc. Bài 2.6.1 T½nh c¡c góc cõa tam gi¡c ABC bi¸t đường cao AH và đường trung tuy¸n AM chia góc A thành A thành ba góc b¬ng nhau. Bài 2.6.2 Cho tam gi¡c ABC có Bb = 450; Cb = 1200. Tr¶n tia đối cõa tia CB l§y điểm D sao cho CD = 2CB: T½nh sè đo góc ADB: Bài 2.6.3 Cho tam gi¡c ABC vuông ở A và Bb = 750: Tr¶n tia đối cõa tia AB l§y điểm H sao cho BH = 2AC: T½nh sè đo cõa góc AHC: Bài 2.6.4 Cho tam gi¡c ABC có Ab = 500; Bb = 200. Tr¶n đường ph¥n gi¡c BE cõa tam gi¡c ta l§y điểm F sao cho F[ AB = 200. Gọi N là trung điểm AF; EN c­t AB t¤i K: T½nh sè đo KCB\. Bài 2.6.5 T½nh c¡c góc cõa tam gi¡c c¥n ABC bi¸t r¬ng tr¶n c¤nh AB l§y điểm D sao cho AD = DC = CB: Bài 2.6.6 Cho tam gi¡c ABC c¥n t¤i A có Ab = 200: Tr¶n nûa mặt ph¯ng không chùa B có bờ AC; v³ tia Cx sao cho ACx[ = 600; tr¶n tia §y l§y điểm D sao cho CD = CB: T½nh ADC:\ 17
18. Chương 3 LÍI GIẢI MËT VÀI BÀI CHÅN LÅC Bài 1.1.3. d. Lời gi£i. Gi£ thi¸t bài to¡n ta có x; y; z cùng d§u. x y z x2 y2 z2 x2 + y2 − z2 65 Ta có: = = suy ra = = = = = 1 5 7 3 25 49 9 25 + 49 − 9 65 8x2 > = 1 >25 > > 8 > >x = ±5 < y2 < Vªy ta có: = 1 , y = ±7 49 > :> > z = ±3 > >z2 :> = 1 9 8 8 x = 5 x = −5 Do x; y; z cùng d§u n¶n y = 7 hoặc y = −7 là c¡c gi¡ trị ph£i t¼m.  :>z = 3 :>z = −3 Bài 1.1.8. Lời gi£i. Ta có: 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d − 1 = − 1 = − 1 = − 1 a b c d a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d = = = = a b c d Trường hñp 1 N¸u a + b + c + d = 0 th¼ M = (−1) + (−1) + (−1) + (−1) = −4: 1 1 1 1 Trường hñp 2 N¸u a + b + c + d 6= 0 th¼ = = = : Khi đó, a = b = c = d. a b c d 2a Vªy M = 4: = 4: 2a  18
19. Sigma - MATHS Nhªn x²t:Nh¼n vào h» sè cõa a; b; c; d và sự b¼nh đẳng v· bªc cõa a; b; c; d trong gi£ thi¸t bài to¡n ta có thº mở rëng bài to¡n như sau: Bài to¡n 1 Cho sè tùy ý α 6= 0 và cho d¢y t¿ sè b¬ng nhau: (α + 1)a + b + c + d a + (α + 1)b + c + d a + b + (α + 1)c + d a + b + c + (α + 1)d = = = . a b c d a + b b + c c + d d + a T¼m gi¡ trị cõa biºu thùc M; bi¸t M = + + + : c + d d + a a + b b + c Bài to¡n 2 Cho d¢y t¿ sè b¬ng nhau: (α + 1)a + b + c + d a + (α + 1)b + c + d a + b + (α + 1)c + d a + b + c + (α + 1)d = = = . αa αb αc αd a + b b + c c + d d + a T¼m gi¡ trị cõa biºu thùc M; bi¸t M = + + + : c + d d + a a + b b + c Bài to¡n 3 Cho sè tùy ý α và m là sè nguy¶n dương ch®n và cho d¢y t¿ sè b¬ng nhau: αam + bm + cm + dm am + αbm + cm + dm am + bm + αcm + dm am + bm + cm + αdm = = = . am bm cm dm a + b b + c c + d d + a T¼m gi¡ trị cõa biºu thùc M; bi¸t M = + + + : c + d d + a a + b b + c Bài 1.1.11. Lời gi£i. a2 a2 b2 x a2 Tø gi£ thi¸t ta có: x = ; y = : Suy ra = k = k k y b2 b2  k Bài 1.1.18. Lời gi£i. Tø gi£ thi¸t tồn t¤i sè k không phụ thuëc vào x và y để A = ka; B = kb; C = kc. Ax + By + Cz kax + kby + kcz Khi đó Q = = = k ax + by + cz ax + by + cz  Bài 1.2.5. Lời gi£i. Bà thù nh§t mua x c¥n g¤o th¼ bà thù hai mua (x − 2) c¥n g¤o(x > 2). Bà thù nh§t mua h¸t sè ti·n là: 4000x(đồng). Bà thù hai mua h¸t sè ti·n là: 4800(x − 2)(đồng). 4800:2 Theo bài ra th¼ 4000x = 4800(x − 2) , x = = 12: 800 Vªy bà thù nh§t mua 12 c¥n g¤o. và bà thù hai mua 10 c¥n g¤o.  Bài 1.2.8. Lời gi£i. 19