Đề thi Khảo sát HSG môn Toán 7 - Lần 2 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Hồng Phương (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Khảo sát HSG môn Toán 7 - Lần 2 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Hồng Phương (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LẦN 2 TRƯỜNG THCS HỒNG PHƯƠNG MÔN: TOÁN 7. NĂM HỌC 2021-2022 (Thời gian:120 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,5 điểm) 1 1 a. Tìm x biết: : 2015x . 2016 2015 3n 1 b. Tìm các giá trị nguyên của n để phân số M = có giá trị là số nguyên. n 1 c. Tính giá trị của biểu thức: N = xy2z3 x2y3z4 x3y4z5 ... x2014y2015z2016 tại: x -1; y -1; z -1. Câu 2. (2,0 điểm) 2bz 3cy 3cx az ay 2bx x y z a. Cho dãy tỉ số bằng nhau . Chứng minh: . a 2b 3c a 2b 3c b. Tìm tất cả các số tự nhiên m, n sao cho : 2m + 2015 = n 2016 + n - 2016. Câu 3.(1,5 điểm) a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2015 x 2016 x 2017 . b. Cho bốn số nguyên dương khác nhau thỏa mãn tổng của hai số bất kì chia hết cho 2 và tổng của ba số bất kì chia hết cho 3. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng bốn số này ? Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH. a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB. b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi. c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của DK. Câu 5. (1,0 điểm) Có sáu túi lần lượt chứa 18, 19, 21, 23, 25 và 34 bóng. Một túi chỉ chứa bóng đỏ trong khi năm túi kia chỉ chứa bóng xanh. Bạn Toán lấy ba túi, bạn Học lấy hai túi. Túi còn lại chứa bóng đỏ. Biết lúc này bạn Toán có số bóng xanh gấp đôi số bóng xanh của bạn Học. Tìm số bóng đỏ trong túi còn lại. -----------------------------------Hết-------------------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.
2. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC KỲ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7. LẦN 2 TRƯỜNG THCS HỒNG PHƯƠNG NĂM HỌC 2021-2022 HDC thi môn: Toán 7 Ghi chú: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản và một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vận dụng thang điểm để cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của câu. - Câu 4 học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm. - Tổng điểm toàn bài thi của thí sinh bằng tổng điểm của các câu không làm tròn. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1a. 1 1 0,25 : 2015x 1,0 2016 2015 0,25 điểm 1 1 x 0,25 2016.2015 2015 1 1 0,25 x : 2016 2015 2016.2015 Vậy x 2016 1b. 3n 1 M = có giá trị là số nguyên => 3n – 1chia hết cho n – 1 1,0 n 1 0,25 điểm => 3(n – 1) + 2 chia hết cho n – 1 => 2 M n – 1=> n - 1 Ư(2) = 1;1; 2;2 Ta có bảng n – 1 -1 1 -2 2 0,25 n 0 2 -1 3 0,25 Thử lại ta có n 0;2; 1;3 thì M nhận giá trị nguyên. 0,25 1c. Ta có : N = xyz.yz2 x2y2z2.yz2 x3y3z3.yz2 ... x2014y2014z2014.yz2 0,5 Thay y = 1; z = -1 ta được: 0,25 N = xyz x2y2z2 x3y3z3 ... x2014y2014z2014 điểm = -(xyz) - (xyz)2 - (xyz)3 - ... - (xyz)2014. Thay xyz = -1 được: N = 1 - 1 + 1 – 1+... +1- 1 = 0 0,25 Vậy N=0. 2a. 2bz 3cy 3cx az ay 2bx a 2b 3c 1,0 điểm 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx a2 4b2 9c2 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx 0 a2 4b2 9c2 0,5
3. z y 2bz - 3cy = 0 (1) 3c 2b 0,25 x z x y z 3cx - az = 0 (2); Từ (1) và (2) suy ra: a 3c a 2b 3c 0,25 2b. Nhận xét: 1,0 -Với x ≥ 0 thì x + x = 2x điểm 0,25 -Với x < 0 thì x + x = 0. Do đó x + x luôn là số chẵn với  x Z. Áp dụng nhận xét trên thì n 2016 + n – 2016 là số chẵn với 0,25 n -2016 Z. Suy ra 2m + 2015 là số chẵn 2m lẻ m = 0 . Khi đó n 2016 + n – 2016 = 2016 0,25 + Nếu n < 2016, ta có - (n– 2016) + n – 2016 = 2016 0 = 2016 (loại) + Nếu n ≥ 2016 , ta có 2(n– 2016) = 2016 n – 2016 = 1008 n = 3024 (thỏa mãn) 0,25 Vậy (m; n) = (0; 3024) 3a. P= x 2015 2016 x x 2017 = ( x 2015 2017 x ) x 2016 0.25 1điểm Ta có: x 2015 2017 x x 2015 2017 x 2 . Dấu “=” xảy ra khi: 2015 x 2017 (1) 0.25 Lại có: x 2016 0 . Dấu “=” xảy ra khi x = 2016 (2). 0.25 Từ (1) và (2) ta có minP = 2. Dấu “=” xảy ra khi x = 2016 3b. Nhận xét : Bốn số phải có cùng số dư khi chia cho 2 và 3. Để có tổng nhỏ nhất, 0,25 mỗi trong hai số dư này là 1. 0,5 điểm Từ đó ta có các số 1, 7, 13 và 19. Tổng của chúng là : 1+7+13+19 = 40. 0,25
4. 4 A H E D F C Q B P M I K 4a. Chứng minh được ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) 1,0 1,0 điểm 4b. Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) MD = BF (2 cạnh tương ứng) (1) 0,25 1,0 +) Chứng minh: ∆MFH = ∆HEM ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2) điểm Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH 0,25 BH không đổi MD + ME không đổi (đpcm) 0,25 0,25 4c. Vẽ DPBC tại P, KQBC tại Q, gọi I là giao điểm của DK và BC 0,5 +) Chứng minh : BD = FM = EH = CK 0,25 điểm +) Chứng minh : ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn) DP = KQ(cạnh tương ứng) 0,25 +) Chứng minh : I·DP I·KQ ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ID = IK(đpcm) 5. Tổng số bóng trong 6 túi là : 18+19+21+23+25+34=140 0,25 1,0 Vì số bóng của Toán gấp hai lần số bóng của học nên tổng số bóng của hai bạn là điểm bội của 3. Ta có : 140 chia 3 bằng 46 dư 2. Do đó số bóng đỏ cũng là số chia 3 dư 2. 0,25 Trong sáu số đã cho chỉ có 23 chia 3 dư 2, đó chính là số bóng đỏ trong túi còn lại. Từ đó ta tìm được số bóng của Toán là : 18+21=39.Số bóng của học là : 19+25+34=78. 0,5 ----------------- Hết --------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)