Đề thi Khảo sát HSG môn Toán 7 - Lần 4 - Năm học 2021-2022 - Trường TH&THCS Hồng Phương (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Khảo sát HSG môn Toán 7 - Lần 4 - Năm học 2021-2022 - Trường TH&THCS Hồng Phương (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS HỒNG PHƯƠNG ĐỀ THI KS HSG CẤP TRƯỜNG LẦN 4 MÔN TOÁN 7, NĂM HỌC 2021-2022 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề. Bài 1. (6,0 điểm) 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 a) Tính giá trị của biểu thức: A 11 12 5 5 5 0,625 0,5 2,5 1,25 11 12 3 5 5 5 b) Tìm x , biết : x 3 6 9 49 2 26 c) Tìm số nguyên x biết x 6 3 81 Bài 2. (3 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có: 4n 3 4n 2 4n 1 4n chia hết cho 300 27 2x b) Cho Q .Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ? 12 x Bài 3. (3 điểm) a) Chứng minh rằng : 3a 2bM17 10a bM17 a,b ¢ b) Cho hàm số f x xác định với mọi x ¡ . Biết rằng với mọi x ta đều có: 1 2 f x 3. f x .Tính f 2 . x Bài 4. (5 điểm) Cho ABC có 3 góc nhọn, AB AC BC.Các tia phân giác của góc Avà góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC.Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI AH.Gọi K là giao điểm của FH và AI. a) Chứng minh FCH cân b) Chứng minh AK KI . c) Chứng minh 3 điểm B,O,K thẳng hàng. Bài 5. (2 điểm) a) Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2 p p2 là các số nguyên tố. b)Trong một bảng ô vuông gồm có 5 5 ô vuông, người ta viết vào mỗi ô vuông chỉ một trong 3 số 1;0; 1. Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau. Bài 6: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P (2x 5y)2 15y 6x 2 xy 90 Hết ..
2. Hướng dẫn chấm Bài Ý Nội dung chính cần trình bày Điểm 1 a Tính giá trị của biểu thức: 2,0 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 A 11 12 5 5 5 0,625 0,5 2,5 1,25 11 12 3 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 A 11 12 5 5 5 0,625 0,5 2,5 1,25 11 12 3 3 3 3 3 3 3 3 8 10 11 12 2 3 4 1,0 5 5 5 5 5 5 5 8 10 11 12 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 0,5 3 3. 8 10 11 12 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 5 5. 8 10 11 12 2 3 4 0,5 3 3 0 5 5 b 5 5 5 2,0 x 3 6 9 5 5 5 5 5 5 5 25 0,75 x x x 3 6 9 3 9 6 3 18 5 25 5 0,5 *)TH1: x x 3 18 18 5 25 55 *)TH 2: x x 0,5 3 18 18 5 55 0,25 Vậy x ; x 18 18 c 49 2 26 2,0 Tìm số nguyên x biết x 6 3 81 2 7 11 x x 49 2 2 7 3 6 6 Với x x 0,75 6 3 3 6 2 7 1 x x 3 6 2 Mà x ¢ x 2; 1;0;1;2;3 0,25 2 26 26 2 26 29 32 Với x x x 3 81 9 3 9 9 9 0,5 Mà x ¢ x 3; 2; 1;0;1;2;3  0,5 Vậy x 2; 1;0;1;2;3
3. 2 a Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có: 1,5 4n 3 4n 2 4n 1 4n chia hết cho 300. Với mọi n nguyên dương, ta có: 4n 3 4n 2 4n 1 4n 4n. 43 42 4 1 4n.75 300.4n 1 M300 0,75 (với mọi n nguyên dương) Nên 4n 3 4n 2 4n 1 4n chia hết cho 300 (với n nguyên dương). 0,75 b 27 2x 1,5 Cho Q .Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ? 12 x 27 2x 2. 12 x 3 3 Biến đổi : Q 2 0,25 12 x 12 x 12 x 3 Ta có: 2 ¢ ; x ¢ ; x 12 nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi 12 x có giá trị nguyên 3 Mà có giá trị nguyên khi và chỉ khi 12 x U (3) 1; 3 0,25 12 x Nếu 12 x 3 x 15(tm) Nếu 12 x 1 x 13(tm) Nếu 12 x 1 x 11(tm) 0,75 Nếu 12 x 3 x 9(tm) 0,25 Vậy Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi x 9;11;13;15. 3 a Chứng minh rằng : 3a 2bM17 10a bM17 a,b ¢ 1,5 *3a 2bM17 10a bM17 Ta có: 3a 2bM17 9 3a 2b M17 27a 18bM17 17a 17b 10a b M17 0,5 10a b M17 0,25 *10a bM17 3a 2bM17 0,25 Ta có: 10a bM17 2 10a b M17 0,5 20a 2bM17 17a 3a 2bM17 3a 2bM17 . b Cho hàm số f x xác định với mọi x ¡ . Biết rằng với mọi x ta đều có: 1,5 1 2 f x 3. f x . Tính f 2 x Vì f x xác định với mọi x ¡ nên: 0,25 1 f ( 2 ) 3.f 4; 2 0,5 1 1 f 3.f 2 0,5 2 4 0,25 13 Từ đó tính được f 2 . 32 4 Cho ABC có 3 góc nhọn, AB AC BC.Các tia phân giác của góc 5,0 Avà góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC.Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI AH.Gọi K là giao điểm của FH và AI. d) Chứng minh FCH cân
4. e) Chứng minh AK KI f) Chứng minh 3 điểm B,O,K thẳng hàng. A H E K O G C B F I a Ta có C· HO C· FO 900 (vì OH  AC,OF  BC) 0,25 Xét CHO vuông và CFO vuông có: OC chung; H· CO F· CO(OC là phân giác Cµ ) 0,75 Vậy CHO CFO (cạnh huyền – góc nhọn) 0,75 CH CF (hai cạnh tương ứng). Vậy FCH cân tại C. b Qua I vẽ IG / / AC G FH 0,25 0,25 Ta có FCH cân tại C (cmt) C· HF C· FH (1) Mà C· HF F· GI (đồng vị, IG / / AC) (2) 0,25 · · · · Từ (1) và (2) CFH FGI hay IFG IGF , Vậy IFG cân tại I 0,25 FI GI , mặt khác : FI AH nên GI AH ( FI) 0,25 · · · · Ta lại có : IGK AHK;HAK GIK (so le trong , IG / / AC) 0,25 Xét AHK và IGK có: I·GK ·AHK(cmt);GI AH (cmt);H· AK G· IK(cmt) 0,25 0,25 AHK IGK(gcg) AK KI (đpcm) c Vẽ OE  AB tại E, Chứng minh được BO là tia phân giác của ·ABC (*) 0,25 Chứng minh được AB BI · · 0,25 Chứng minh được: ABK IBC(c.c.c) ABK IBK 0,25 Từ đó suy ra BK lầ tia phân giác của ·ABC ** 0,25 Từ (*) và (**) suy ra tia BK,BO trùng nhau 0,25 Hay B,O,K là ba điểm thẳng hàng. 5 a Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2 p p2 là các số nguyên tố. 1,0 p 2 0,25 Với p 2 thì 2 p 4 4 8không là số nguyên tố 0,25 Với p 3 thì 2 p p2 8 9 17 là số nguyên tố Vơi p 3 thì p là số nguyên tố nên p lẻ nên 2 p 22k 1  2(mod3) Và p2 1(mod3) nên 2 p p2 M3 0,25 Mà 2 p p2 3 nên 2 p p2 là hợp số. Do đó với p 3 thì 2 p p2 là hợp số. 0,25 Vậy với p 3 thì 2 p p2 là số nguyên tố.
5. b Trong một bảng ô vuông gồm có 5 5 ô vuông, người ta viết vào mỗi ô 1,0 vuông chir một trong 3 số 1;0; 1. Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau. Ta có 5 cột, 5 hàng và 2 đường chéo nên sẽ có 12 tổng 0,25 Mỗi ô vuông chỉ nhận một trong 3 số 1;0 hoặc – 1 nên mỗi tổng chỉ nhận các giá trị từ - 5 đến 5. 0,25 Ta có 11 số nguyên từ - 5 đến 5 là – 5; - 4 ; .;0;1; .5 0,25 0,25 Vậy theo nguyên lý Dirichle phải có ít nhất hai tổng bằng nhau. 6 a P (2x 5y)2 15y 6x 2 xy 90 1,0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Ta có P (2x 5y)2 15y 6x 2 xy 90 (2x 5y)2 6x 15y 2 xy 90 (2x 5y)2 9.(2x 5y)2 xy 90 0,25 2 8.(2x 5y) xy 90 Ta thấy (2x 5y)2 0 với mọi x, y nên 8.(2x 5y)2 0 với mọi x, y xy 90 0 với mọi x, y Khi đó 8.(2x 5y)2 xy 90 0 với mọi x, y 2 0,25 Suy ra 8.(2x 5y) xy 90 0 với mọi x, y Hay P ≤ 0 với mọi x, y Dấu‘‘=’’ xảy ra khi (2x 5y)2 0 và xy 90 0 x y + Với (2x 5y)2 0 thì 2x 5y 5 2 + Với xy 90 0 thì xy = 90 x y Đặt k ta được x = 5k ; và y = 2k 5 2 Mà xy = 90 nên 5k .2k = 90 Tìm được k = 3 hoặc k = -3 0,25 + Nếu k = 3 thì x = 15 ; y = 6. + Nếu k = -3 thì x = -15 ; y = - 6 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của P là 0 khi và chỉ khi x = 15 ; y = 6; hoặc x = -15 ; y = - 6