Đề thi HSG môn Toán 7 - Lần 3 - Năm học 2022-2023 - Trường TH&THCS Hồng Phương (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi HSG môn Toán 7 - Lần 3 - Năm học 2022-2023 - Trường TH&THCS Hồng Phương (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG LẦN 3 TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG MÔN : TOÁN 7 NĂM HỌC: 2022 – 2023 Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ BÀI Câu 1: Cho phép toán: a*b = a+b+a.b+1 Tính A = (2*3)*(4*5) 212.35 46.92 Câu 2. a) Tính A . (22.3)6 84.35 3 5 7 19 b) Chứng minh rằng: A ... 1 12.22 22.32 32.42 92.102 Câu 3. a) Tìm x, y, z biết x –1 2022 2y –1 2022 x 2y – z 2023 0 1 1 2 b) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn x y 3 c) Biết abcd là nguyên tố có bốn chữ số thỏa mãn b2 cd b c và ab;cd cũng là số nguyên tố. Hãy tìm abcd . Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn với trung điểm M của BC. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB kẻ đoạn thẳng AE vuông góc với AB sao cho AB = AE. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC kẻ đoạn thẳng AF = AC và AF vuông góc với AC. Chứng minh rằng a) BF = CE b) EF = 2AM và EF ^ AM . Câu 5. Cho dãy số gồm 5 số tự nhiên bất kì a1, a2, a3, a4, a5 . Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 5 hoặc tổng của một số số liên tiếp trong dãy đã cho chia hết cho 5. A Câu 6: Tính tỉ số biết : B 1 1 1 1 1 1 1 1 A ... và B ... 1.300 2.301 3.302 101.400 1.102 2.103 3.104 299.400 Hết Học sinh không sử dụng tài liệu. Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên học sinh: .Số báo danh: ... 1
2. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG LẦN 3 TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG MÔN : TOÁN 7 NĂM HỌC: 2022 – 2023 Thời gian làm bài: 120 phút Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 A = 403 1 2 a) 212.35 46.92 212.35 212.34 212.34 (3 1) 2 1 A (22.3)6 84.35 212.36 212.35 212.35 (3 1) 3.4 6 1 b) 3 5 7 19 Ta có: A ... 12.22 22.32 32.42 92.102 22 12 32 22 42 32 102 92 ... 12.22 22.32 32.42 92.102 1 1 1 1 1 1 1 = ........ 12 22 22 32 32 92 102 1 = 1 1 102 1 a ) Ta có: (x – 1)2022 0  x (2y – 1)2022 0  y |x + 2y – z|2023 0  x, y, z (x – 1)2022 + (2y – 1)2022 + |x + 2y – z|2023 0  x, y, z Mà (x – 1)2022 + (2y – 1)2022 + |x + 2y – z|2023 = 0 nên dấu "=" 1 x – 1 2022 0 2022 xảy ra 2y – 1 0 x 2y – z 2023 0 x 1 x 1 3 1 1 y y 2 2 1 z 2 1 2. – z 0 2 c) x và y có vai trò như nhau nên giả sử x y 2 1 1 1 1 2 2 2 nên y 3 3 x y y y y 3 y 1 Nếu y = 1 thì x = - 3 (loại) Nếu y = 2 thì x = 6 (thỏa mãn) 2
3. Nếu y = 3 thì x = 3 (thỏa mãn) Vậy các cặp số (x, y) thỏa mãn là: (2; 6); (6; 2); (3; 3) d) Vì ab;cd là các số nguyên tố nên b,d lẻ và khác 5. 1 Ta lại có b2 b2 cd b c b2 b 9c d b(b 1) 9c d Nếu b 1 ( Không thỏa mãn) Nếu b 3 nên 9c d 6 c 0,d 6 ( Không thỏa mãn). Nếu b 7 9c d 42 d 42 9c c 4;d 6 ( Loại) Nếu b 9 9c d 72 d 72 9c c 7,d 9 ( thỏa mãn) Suy ra a {1;2;7} . Vậy abcd {1979;2979;7979} . 4 a) Chứng minh được tam giác ABF bằng tam giác AEC (c.g.c) 1 Suy ra CE = BF b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD. Nối B với D. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt AD tại G. Xét hai tam giác AMC và DMB có AM = MD; A·MC = D·MB;BM = MC Nên DAMC = DDMB (c.g.c), suy ra C·AM = B·DM (1) và BD = AC. Ta có AE ^ AB;BG ^ AB nên BG // AE suy ra E·AM = B·GA (so le trong) (2) Mà B·GA = G·BD+ B·DM và E·AM = E·AC + C·AM (3) 3
4. Nên từ (1) và (2), (3) suy ra E·AC = G·BD . Ta có AE = AB; E·AF = A·BD = 180°- B·AC ; BD = AF (=AC). Do đó DEAF = DABD (c.g.c) Suy ra EF = AD, Mà AD = 2.AM (cách vẽ) nên EF = 2AM. Do DEAF = DABD nên A·EF = B·AD 1 Mà B·AD+ D· AE = 90° nên A·EF + D· AE = 90° Suy ra AM ^ EF (điều phải chứng minh). Ta sẽ thành lập dãy số mới gồm 5 số sau đây: 1 S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 5 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 - Nếu một trong cách Si (i = 1, ... 5)chia hết cho 5 thì bài toán đã được chứng minh. - Nếu không có số nào chia hết cho 5 thì khi đem chia các số Si cho 5 sẽ được 4 số dư có giá trị từ 1 đến 4. Có 5 số dư mà chỉ có 4 giá trị (5 thỏ, 4 lồng). Theo nguyên tắc Điriclê ít nhất phải có 2 số dư có cùng giá trị. Hiệu của chúng chia hết cho 5. Hiệu này chính là tổng các ai liên tiếp nhau hoặc là ai nào đó. 299 299 299 6 299A ... 1 1.300 2.301 101.400 1 1 1 1 1 1 1 1 299A ... 1 300 2 301 3 302 101 400 1 1 1 1 1 1 299A 1 ... ... 2 3 101 300 301 400 101 101 101 101 101B ... 1.102 2.103 3.104 299.400 1 1 1 1 1 1 1 101B 1 ... 102 2 103 3 104 299 400 1 1 1 1 1 1 101B 1 ... ... 2 3 299 102 103 400 1 1 1 1 1 1 101B 1 ... ... 2 3 101 300 301 400 A 101 Khi đó : 299A 101B . B 299 ---------------------------Hết---------------------------- 4