Đề thi Khảo sát HSG môn Toán 6 - Lần 4 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Hồng Phương (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Khảo sát HSG môn Toán 6 - Lần 4 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Hồng Phương (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS HỒNG PHƯƠNG ĐỀ THI KS HSG CẤP TRƯỜNG LẦN 4 MÔN TOÁN 6, NĂM HỌC 2021-2022 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề. A Câu 1 (2 điểm): Cho các số A và B. Hãy tính tỉ số biết: B 4 6 9 7 7 5 3 11 a) A = + + + ; B = + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 1 1 1 1 2020 2019 2018 1 b) A = + + +...+ ; B= + + +...+ 2 3 4 2021 1 2 3 2020 Câu 2 (2 điểm): 2.1 . Tìm cặp số nguyên (x; y) biết: xy - 2x + 5y - 12 = 0 2.2 . Tìm số tự nhiên x biết: a) 2x 5 13 b) x 5 6 x 5 8 Câu 3 (1,5 điểm): Số học sinh của một trường khi xếp hàng, mỗi hàng có 20 người, hoặc 25 người, hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài hàng). Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh, biết rằng số học sinh của trường chưa đến 1000? Câu 4 (1 điểm): Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương. Câu 5 (2 điểm): Cho tam giác MNO có M· ON =125 0 ; OM = 4cm, ON = 3cm a) Trên tia đối của tia ON xác định điểm B sao cho OB = 2cm. Tính độ dài NB. b) Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OM bờ là đường thẳng ON vẽ tia OA sao cho M· OA =800 .Tính số đo các góc AON và MOB. Câu 6 (0,5 điểm): Cho 10 đường thẳng cùng đi qua điểm O. Chứng minh rằng trong các góc tạo bởi 10 đường thẳng đã cho cùng với các tia OA, OB, OM, ON luôn tồn tại một góc có số đo không vượt quá 150. Câu 7 (1 điểm): a) Tìm các số nguyên tố p và q sao cho 7p + q và p.q + 11 cũng là các số nguyên tố. 1 1 1 2 b) Cho M ... . Chứng minh M 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 .. 59 3 ------- Hết ------ Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Họ, tên học sinh: ......................................................................., SBD: .......................
2. HƯỚNG DẪN CHẤM HSG NĂM HỌC 2021-2022 MÔN: TOÁN LỚP 6 Chú ý: -Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải, nếu học sinh giải theo cách khác đúng và đủ các bước vẫn cho điểm tối đa. - Trong mỗi câu, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm. - Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu học sinh không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình của phần đó. - Nếu bài toán tính toán mà học sinh không trình bày cách giải (chỉ ghi kết quả) thì không cho điểm. Nếu học sinh không tính hợp lý nhưng kết quả đúng thì cho một nửa số điểm trong thang điểm của phần đó Câu Nội dung Thang Ý điểm Câu 1 4 6 9 7 7 5 3 11 A = + + + B = + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 Nên: 1 4 6 9 7 A = + + + 5 35.31 35.41 50.41 50.57 a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - 0,5 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57 1 7 5 3 11 1 1 Tương tự ta có: B = + + + = - 0,5 2 19.31 19.43 23.43 23.57 31 57 0,25 1 1 A 5 A = B = 5 2 B 2 1 1 1 1 2020 2019 2018 1 A = + + +...+ B= + + +...+ 2 3 4 2021 1 2 3 2020 Ta có: 2020 2019 2018 1 2019 2018 1 2021 B= + + +...+ 1 1 ... 1 b 1 2 3 2020 2 3 2020 2021 1 1 1 1 A 1 2021 + + +...+ 2021A = 0,5 2 3 4 2021 B 2021 A 1 Vậy = 0,25 B 2021 Ta có: xy - 2x + 5y - 12 = 0 x(y - 2) + 5(y - 2) + 2 = 0 0,25 Câu 2 a (x + 5) (y - 2) = 2 Vì x, y Z suy ra x + 5; y - 2 Ư(2) = { 1; 2} Suy ra (x; y) = (-6; 0); (-4; 4); (-7; 1); (-3; 3) 0,25
3. 2x 5 13 2x 18 x 9 2x 5 13 b 2x 5 13 2x 8 x 4 0,5 Mà x là số tự nhiên nên x = 9 0,25 x 5 6 x 5 8 x 5 8 x 5 6 0 x 5 0,5 x 5 0 x 5 6 1 (x 5)2 0 ... x 6 c 2 (x 5) 1 x 4 0,25 Vậy x 4,5,6 Câu 3 Gọi số học sinh của trường là x (x N*) x : 20 dư 15 x – 15 20 x : 25 dư 15 x – 15 25 x : 30 dư 15 x – 15 30 Suy ra x – 15 là BC(20, 25, 35) 0,75 Ta có 20 = 22. 5; 25 = 52 ; 30 = 2. 3. 5; BCNN(20, 25, 30) = 22. 52. 3 = 300 BC(20, 25, 35) = 300k (k N) x – 15 = 300k x = 300k + 15 mà x < 1000 nên Suy ra k 1,2,3 0,5 Chỉ có k = 2 thì x = 300k + 15 = 615  41 0,25 Vậy số HS của trường 615 Câu 4 Vì n 18 và n 41 là hai số chính phương nên ta đặt 2 n 18 a a N 2 n 41 b b N a2 b2 n 18 n 41 a b a b 59 a b ; a b Ư 59 0,5 Nhận xét: 0 a b a b nên ta có a b 1 a b 59 a 30 b 29 n 18 302 Khi đó ta có n 882 (thỏa mãn) 0,25 2 n 41 29 0,25 Vậy với n 882 thì n 18 và n 41 là hai số chính phương.
4. Câu 5 B thuộc tia đối của tia ON nên O nằm giữa B và N. Suy ra a 1 BN = BO + ON hay BN = 2 + 3 = 5 (cm) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bở là đường thẳng chưa tia OM M· OA =800 , M· ON =125 0 nên M· ON M· OA suy ra tia OA nằm giữa hai tia OM và ON b 1 HS tính được góc ·AON =125 0 800 450 M· OB=1800 125 0 550 Ta có 10 đường thẳng cùng đi qua O kết hợp với 4 tia OB, OM, ON, OB tạo c thành 24 góc không có điểm trong chung có tổng bằng 3600. 0,5 Suy ra luôn tồn tại một góc có số đo 3600 : 24 = 150 Câu 6 *Với p = q = 2, ta có 7p + q =16 là hợp số *Với p, q > 3, ta có 7p + q là số chẵn lớn hơn 2 suy ra 7p + q là hợp số. *Với p = 2 0,25 +Nếu q = 3, ta có 7p + q = 17 và p.q + 11 =17 đều là số nguyên tố +Nếu q > 3 thì q có dạng 3k + 1 hoặc 3k +2 ( k là số tự nhiên khác 0) -Xét q = 3k + 1, ta có 7p + q = 14 + 3k + 1=3(k + 5) là hợp số. a -Xét q = 3k + 2, ta có p.q + 11 = 2(3k + 2) + 11 =3(2k + 5) là hợp số. *Với q = 2 +Nếu p = 3, ta có 7p + q = 23 và p.q + 11 =17 đều là số nguyên tố +Nếu p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k +2 ( k là số tự nhiên khác 0) -Xét p = 3k + 1, ta có 7p + q = 7( 3k + 1) + 2=3(7k + 3) là hợp số. -Xét p = 3k + 2, ta có p.q + 11 = 2(3k + 2) + 11 =3(2k + 5) là hợp số. 0,25 Vậy các cặp số nguyên tố cần tìm là (p; q) = (2; 3); (3; 2) (n 1).n Theo công thức tổng: 1 + 2 + 3 + ....+ n = 2 1 1 1 1 M ... (1 3).3 (1 4).4 (1 5).5 (1 59).59 2 2 2 2 b 2 2 2 2 0,5 ... 3.4 4.5 5.6 59.60 1 1 1 1 1 1 1 1 2 .... 3 4 4 5 5 6 59 60 1 1 2 1 2 2 3 60 3 30 3