Đề thi HSG môn Toán 6 - Lần 1 - Năm học 2022-2023 - Trường TH&THCS Hồng Phương (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi HSG môn Toán 6 - Lần 1 - Năm học 2022-2023 - Trường TH&THCS Hồng Phương (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG LẦN 1 TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG NĂM HỌC 2022-2023 MÔN: TOÁN 6 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2điểm) Tính các tổng sau : a ) A = 9 + 99 + 999 + 9999 + ...+ b) Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. Bài 2: (2 điểm) a) Chứng minh : Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. b) Chứng minh n3 - 13n (n > 1) chia hết cho 6. Bài 3 :( 2điểm) a)Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + + 20048009. b) Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25.. Bài 4: (1 điểm) Trong giờ ra chơi số HS ở ngoài bằng 1/5 số HS trong lớp. Sau khi 2 học sinh vào lớp thì số số HS ở ngoài bừng 1/7 số HS ở trong lớp. Hỏi lớp có bao nhiêu HS? Bài 5: ( 2điểm) 3 a) Một hình thang vuông có đáy bé bằng 5 đáy lớn và chiều cao bằng 23cm , người ta 2 mở rộng hình thang để được một hình chữ nhật thì diện tích của nó tăng thêm lên 414m . Hãy tính diện tích hình thang lúc đầu. b) Với mỗi góc đỉnh A không có điểm trong chung trên hình vẽ ta đặt vào bên trong mỗi góc một viên bi. Gọi I là phép biến đổi: lấy hai góc bất kì có bi và chuyển từ mỗi góc đó một viên bi sang góc liền kề nhưng theo hai chiều ngược nhau (một viên chuyển theo chiều kim đồng hồ, một viên chuyển theo chiều ngược lại). Hỏi theo phép biến đổi trên, sau một số hữu hạn bước ta có thể chuyển được tất cả các viên bi vào một góc không? Giải thích câu trả lời? Bài 6: (1 điểm). Các số tự nhiên từ 1 đến 10 được sắp xếp ngẫu nhiên theo trình tự sau: 10 3 7 4 6 5 8 9 1 2 Hỏi cần điều chỉnh các số trên bao nhiêu lần để dãy trên trở thành: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (Giả sử mỗi số chỉ điều chỉnh vượt qua số bên phải mình một lần). ---------------------------Hết-------------------------------------------- Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính
2. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG LẦN 1 TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG NĂM HỌC 2022-2023 MÔN: TOÁN 6 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) ĐÁP ÁN Bài 1: a.A = 9 + 99 + 999 + 9999 + ...+ = 101 – 1 + 102 – 1 + 103 – 1 + ... + 1010 – 1 = 101 + 102 + 103 + ... + 1010 – 10 = ( 101+ 102 + 103+ 104 + ... + 1010 ) – 10 = 0 – 10 = 00 b.Lập luận : giả sử a ≤ b. Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18. Bài 2: a)Ta có : 2 2 2 2 2 an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n + 3n) (n + 3n + 2) + 1 = (n + 3n) + 2(n + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2 b) n3 - 13n = n3 - n - 12n = n(n2 - 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n (n - 1)n(n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6 ; 12n  6 . Do đó A(n)  6 Bài 3 a) Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, , 2004}). Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng : (2 + 3 + + 9) + 199.(1 + 2 + + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + + 9) + 9 = 9009. Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9. 1 1 b) Lúc đầu số HS ra ngoài bằng số HS trong lớp, tức số HS ra ngoài bằng số HS 5 6 trong lớp. 1 Sau khi 2 em vào lớp thì số HS ở ngoài bằng số HS của lớp. Vậy 2 HS biểu thị 8 1 1 2 - = (số HS của lớp) 6 8 48 2 Vậy số HS của lớp là: 2 : = 48 (HS) 48 Bài 4 : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517. Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1 ∶ 100. Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 ∶ 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) ∶ 100.
3. Mặt khác : 516 - 1 ∶ 4 => 5(516 - 1) ∶ 20 => 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là 43. Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18. Bài 5: A B E D C Phần mở rộng là một tam giác vuông, có cạnh góc vuông bằng chiều cao của hình thang. Số đo cạnh góc vuông còn lại bằng: 414 : 23 18 cm 18cm chính là hiệu số đo hai đáy của hình thang. Coi đáy bé hình thang gồm ba phần bằng nhau thì đáy lớn gồm 5 phần. Hiệu số phần bằng nhau là: 5 – 3 2 (phần) Đáy lớn của hình thang bằng: 18 : 2 x 5 45 cm Đáy bé của hình thang bằng: 45 – 18 27 cm Diện tích hình thang lúc đầu là: 45.27 1215 cm2 c) Không thể chuyển tất cả các viên bi vào cùng một góc. - Thật vậy, ta sơn đen – trắng xen kẽ các góc. - Tại thời điểm đầu tổng số các viên bi trong các góc sơn đen và tổng số các viên bi trong các góc sơn trẳng là một số lẻ (9 viên) - Với phép biến đổi I thì tại mọi thời điểm tổng số các viên bi trong các góc sơn đen và tổng số các viên bi trong các góc sơn trắng luôn là một số lẻ. - Vậy không thể chuyển tất cả các viên bi vào cùng một góc vì khi đó tổng số viên bi là chẵn (18 viên). Bài 6:Với mỗi số, ta chỉ cần đếm số lượng số nằm bên phải nó và nhỏ hơn nó. Số 10 3 7 4 6 5 8 9 1 2 Số lần 9 2 5 2 3 2 2 2 0 0 chuyển Ta có: 9 + 2 + 5 + 2 + 3 + 2 + 2 + 2 + 0 + 0 = 27 Vậy ta cần điều chỉnh dãy số trên 27 lần