55 Đề thi HSG môn Toán Lớp 7 - Trường THCS Đức Thuận

Nội dung tài liệu: 55 Đề thi HSG môn Toán Lớp 7 - Trường THCS Đức Thuận

1. 55 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 7 ĐỀ SỐ 1: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: 1 a) .16nn 2 ; b) 27 < 3n < 243 8 Bài 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 11357...49 ( ... ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài 3. a) Tìm x biết: 2x 3 x 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC ĐỀ SỐ 2: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 A 63 22 .3 8 4 .3 5 125.7 593 .14 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 22 2 n 3 n 2 n chia hết cho 10
2. Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x 3,2 3 5 5 xx 1 11 b. xx 7 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. ac a22 c a b) Cho . Chứng minh rằng: cb b22 c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H BC . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC Hết ĐỀ SỐ 2: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 A 63 22 .3 8 4 .3 5 125.7 593 .14 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 22 2chia n hết 3 n cho 2 n 10
3. Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 x a. 3,2 3 5 5 xx 1 11 xx 7 b. 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 c) Số A được chia thành 3 số:: tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. ac a22 c a d) Cho . Chứng minh rằng: cb b22 c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng EHc) Từ BC E kẻ H BC HBE . Biết MEB= 50o ; =25o . HEM TínhBME và Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cânA tại 20 0A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC Hết ĐỀ SỐ 3: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a4 9 9 Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn và nhỏ hơn 10 11 Câu 3. Cho 2 đa thứ c P x = x 2 + 2mx + m 2 và Q x = x + (2m+1)x + m
4. Tìm m biết P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: xy a / ; xy=84 37 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = x 1 +5 x2 15 B = x2 3 Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. a. Chứng minh: DC = BE và DC  BE b. Gọi N là trung điểm c ủa DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA c. Chứng minh: MA BC ĐỀ SỐ 4: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 ( 2 điểm ) Thực hiện phép tính : 2 1 1 1 a- 6. 3. 1 : ( 1 3 3 3 3 2 2 3 2003 . . 1 3 4 b- 2 3 2 5 . 5 12 Câu 2 ( 2 điểm ) a 2 a 3 a- Tìm số nguyên a để là số nguyên a 1 b- Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0 Câu 3 ( 2 điểm ) a c a- Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b+d) thì với b,d khác 0 b d
5. b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để được một số có ba chữ số giống nhau . Câu 4 ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE Câu 5 ( 1điểm ) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2 - 2y2 =1 1 .16nn 2 8 2x 3 x 2 ĐÁP ÁN ĐỀ 1TOÁN 7 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 33 n = 4 Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm) 1 1 1 11357...49 ( ... ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1111 1 1 1 1 12(1357...49) = ( ... ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 = ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) Tìm x biết: Ta có: x + 2 0 => x - 2.
6. + Nếu x - 3 thì => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn) 2 5 + Nếu - 2 x - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Thoả mãn) 3 + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi2 x2006 3 x x2 2007 x 2006 2007 x Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên m ột đường thẳng, ta có: x – y = 1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ) 3 và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) x 12 x y x y 1 1 Do đó: :11 y 1 12 1 11 3 33 12 4  x = (vòng ) x (giờ) 33 11 Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên m ột đường thẳng là 4 giờ 11 Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA,
7. qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đường thẳng AB cắt EI tại F E ABM = DCM vì: F AM = DM (gt), MB = MC (gt), AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM I =>FB // ID => ID  AC A Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) C Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) B H M => IC = AC = AF (3) D và E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB =>AE = BC ĐÁP ÁN ĐỀ 2 TOÁN 7 Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm)
8. 10 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 2 12 .3 5 2 12 .3 4 5 10 .7 3 5 .7 4 A 63 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22 .3 8 4 .3 5 125.7 593 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212 .3 4 . 3 1 5 10 .7 3 . 1 7 212 .3 5 . 3 1 59 .7 3 . 1 2 3 212 .3 4 .2 510 .7 3 . 6 212 .3 5 .4 5 9 .7 3 .9 1 10 7 6 3 2 b) (2 điểm) 3n 22 2 n 3 n 2 n = 3n 22 3 n 2 n 2 n =3nn (322 1) 2 (2 1) =310n 2 n  5 310 n  2 n 1  10 = 10( 3n -2n) Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) 1 4 2 1 4 16 2 xx 3,2 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 x 3 5 5 1 1 x 2 x 2 3 3 x 1 2 3 x 2 17 33 x 2 15 33 b) (2 điểm) xx 7 xx 1 7 11 0 x 1 10 xx 7 1 7 0
9. xx 7 x 1 1 7 10 0 x 1 x 70 1 (x 7)10 0 xx 7 0 7 (xx 7)10 1 8 2 3 1 :: 5 4 6 Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 23k Từ (1) = k a k;; b k c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = , ta được: a = 72 ; b = 135; c = 30 Khi đó ta có só A = +( ) + ( ) = 237. b) (1,5 điểm) ac Từ suy ra c2 a. b cb a2 c 2 a 2 a. b khi đó b2 c 2 b 2 a. b a() a b a = b() a b b Bài 4: (4 điểm)
10. A a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) I AMC = EMB (đối đỉnh ) B M C BM = MC (gt ) H Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm K AC = EB E Vì AMC = EMB MAC = MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) EMK + IME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o HBE = 90o - HBE = 90o - 50o =40o
11. HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o A BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 200 M Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra DAB DAC D Do đó DAB 2000 : 2 10 b) ABC cân tại A, mà A 200 (gt) nên ABC (1800 20 0 ): 2 80 0 C ABC đều nên DBC 600 B Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ABD 800 60 0 20 0 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM ABD 2000 ; ABM DAB 10 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC ĐÁP ÁN ĐỀ 3 TOÁN 7 Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết 0 => a = 0; 1; 2; 3 ; 4 * = 0 => a = 0 a4 * = 1 => a = 1 hoặc a = - 1 * = 2 => a = 2 hoặc a = - 2 * = 3 => a = 3 hoặc a = - 3 * = 4 => a = 4 hoặc a = - 4
12. Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn và nhỏ hơn Gọi mẫu phân số cần tìm là x Ta có: 9 7 9 63 63 63 => => -77 9x = -72 10x 11 70 9x 77 => x = 8 7 Vậy phân số cần tìm là 8 Câu 3. Cho 2 đa thứ c P = x + 2mx + m và Q = x + (2m+1)x + m Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1 Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2 = m2 – 2m Để P(1) = Q(-1) thì m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4 Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: xy x22 y xy 84 a / ; xy=84 => 4 37 9 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cùng dấu nên: x = 6; y = 14 x = -6; y = -14 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 9 9 10 11 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x 4x5x2 x2 5x12 5x12 22yy x => xx5 12 x
13. => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được: 1 3yy 2 y 12 2 =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 1 15 Vxậ y1 x = 2, y = thoả mãn đề bài 2 Câux 5:15 Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : x2 3 A = +5 Ta có : 0. Dấu = xảy ra x= -1. A 5. Dấu = xảy ra x= -1. Vậy: Min A = 5 x= -1. x2 3 12 12 B = = = 1 + x2 3 x2 3 Ta có: x 0. Dấu = xảy ra x = 0 x 2 + 3 3 ( 2 vế dương ) 12 4 1+ 1+ 4 3 B 5 Dấu = xảy ra x = 0 Vậy : Max B = 5 x = 0. Câu 6: a/ Xét ADC và BAF ta có: M DA = BA(gt) P E AE = AC (gt) 2 0 N 1 DAC = BAE ( cùng bằng 90 + BAC )D 1 A 1 K I 2 T B H C
14. => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE Xét AIE và TIC I1 = I2 ( đđ) E1 = C1( do DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC  BE b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) 0 Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180 ( trong cùng phía ) mà BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( 2 ) Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm) c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP MH Xét AHC và EPA có: CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b) => AHC = EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA BC (đpcm) ĐÁP ÁN ĐỀ 4
15. CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 1.a Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm t ối đa 1Điểm 1.b Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm t ối đa 1Điểm 2.a a(a 1) 3 3 0,25 Ta có : = a a 1 a 1 vì a là số nguyên nên là số nguyên khi 3 là số a 1 nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau : 0,25 a+1 -3 1 1 3 a -4 -2 0 2 0,25 Vậy với a 4, 2,0,2thì là số nguyên 0,25 2.b Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 0,25 Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau : 1 2y 1 x 0 2x 1 1 y 0 0,25 1 2y 1 x 1 Hoặc 0,25 2x 1 1 y 1 Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài 0,25 3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d) 0,5 Hay ad=bc Suy ra ( ĐPCM) 0,5 3.b Giả sử số có 3 chữ số là aaa=111.a ( a là chữ số khác 0) Gọi số số hạng của tổng là n , ta có : n(n 1) 111a 3.37.a Hay n(n+1) =2.3.37.a 2 0,25 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do đó n=37a 2 hoa ặc3 n+1 = 37 0,25 n(n 1) Nếu n=37 thìa n+11 = 38 lúc đó 703 không thoả mãn 2 n(n 1) Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó 666 thoả mãn 2 a c Vậy số số hạng của tổng là 36 b d 0,5
16. 4 A H B C D Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300 0,5 CD Nên CH = CH = BC 2 Tam giác BCH cân tại C CBH = 300 ABH = 150 0,5 Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450+300=750 1,0 1,0 5 Từ : x2-2y 2=1suy ra x2-1=2y2 0,25 Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2 nguyên 0,25 tố thoả mãn Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2=19 không thoả mãn 0,25 Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3) 0,25 ĐỀ SỐ 5: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (3đ): 1 1 1 2 2 2 1, Tính: P = 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004
17. 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 x3 3 x 2 0,25 xy 2 4 3, Cho: A = xy2 1 Tính giá trị của A biết xy ; là số nguyên âm lớn nhất. 2 Bài 2 (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 Bài 3 (1đ): Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ? Bài 4 (2đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC 2, BMC 1200 Bài 5 (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm. 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó. 2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh: AE = AB ĐỀ SỐ 6: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3 3 C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 4 16 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)
18. 2, Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25 3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ? Bài 2 (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2x 3 x 2 x Bài 3 (4đ): Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức 1, P = 2 có giá trị lớn nhất 6 m 2, Q = 8 n có giá trị nguyên nhỏ nhất n 3 Bài 4 (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E. 1, Chứng minh BD = CE. 2, Tính AD và BD theo b, c Bài 5 (3đ): Cho ∆ABC cân tại A, BAC 1000 . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho DBC 1000 , DCB 20 . Tính góc ADB ? ĐỀ SỐ 7: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (3đ): Tính: 3 1 1 1 1, 6. 3. 1 1 3 3 3 2, (63 + 3. 62 + 33) : 13 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3, 10 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bài 2 (3đ): a b c 1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005. b c a Tính b, c.
19. a b c d 2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta có hệ thức: a b c d ac bd Bài 3 (4đ): Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài 4 (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: 2xx ; 0 y = xx;0 Bài 5 (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài 6 (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I. Chứng minh: ID = IE ĐỀ SỐ 8: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (5đ): 1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính : 1 2 3 2 4 2 A = + 0,(4) 3 5 7 9 2 2 4 6 3 5 7 Bài 2 (3đ): Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: a (a 2007 b) 2 = c (b 2007 c) 2 Bài 3 (4đ): Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu 4 (6đ):
20. Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. 1, Chứng minh: BE = DC. 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC. Bài 5 (2đ): p m n Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: = . m 1 p Chứng minh rằng : p2 = n + 2. ĐỀ SỐ 9: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm ) 4 a, Cho A (0,8.7 0.82 ).(1,25.7 .1,25) 31,64 5 (11,81 8,19).0,02 B 9 :11,25 Trong hai số A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ? b) Số A 101998 4 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ? Câu 2: (2 điểm ) Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4. Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ? Câu 3: a) Cho f (x) ax2 bx c với a, b, c là các số hữ u tỉ. Chứng tỏ rằng: f ( 2). f (3) 0 . Biết rằng 13a b 2c 0 2 b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị lớn nhất. 6 x Câu 4: (3 điểm ) Cho ABC dự ng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B và E nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AC. Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900. F và C nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB. a) Chứng minh rằng: ABF = ACE b) FB  EC. Câu 5: (1 điểm ) Tìm chữ số tận cùng của 90 69 18 19 A 195 29