Đề thi HSG Toán Lớp 8 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Bắc Hồng (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi HSG Toán Lớp 8 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Bắc Hồng (Có đáp án)

1. ĐỀ KIỂM TRA MÔN: TOÁN 8 (Thời gian làm bài:120 phút (Không kể thời gian giao nhận đề) ------------------- I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1.Tìm các số x, y sao cho x2 + y2 + 6x – 10y = - 34 Câu 2: Cho dãy số: 12, 5, 25, 29, 85, 89,... Tìm số tiếp theo của dãy Câu 3: Một hộp có 23 viên bi xanh, 30 viên bi đỏ và 38 viên bi trắng. Cần lấy ra ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có 3 viên bi màu trắng Câu 4: Cho a 2 b. Tính giá trị biểu thức A a2 4a 4 b2 2ab 4b 4 2x y Câu 5: Cho x y 0 và 3x2 3y2 10xy , Tính giá trị biểu thức A x 2y Câu 6: Phân tích đa thức a2 + 2ab + 6b – 9 thành nhân tử Câu 7: Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y sao cho 2x xy 2y 5 Câu 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2 + x - 2 Câu 9: Cho hình thang vuông ABCD có µA Dµ 900 và AB: CD = 1: 2. Biết AD = 3cm, đường chéo BD = 5cm. Tính diện tích hình thang ABCD Câu 10: Cho ABC vuông tại A, có AB:AC = 3: 4 và BC = 10. Tính chu vi ABC II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11: (3điểm) 3 1 2 x Cho biểu thức P 2 : 2 (với x 1; x 4; x 2 ) x 3x 4 x 4 x 8x 16 a) Rút gọn biểu thức b) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên Câu 12: (2 điểm) Cho các số thực a, b thỏa mãn: a2 b2 ab a b 1 0 . Tính giá trị của biểu thức M 5a3 b4 2024. Câu 13: (4điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC sao cho góc IOM bằng 900. Gọi N là giao điểm của AM và CD. 1 1 1 a) Chứng minh BI = CM ; b) Chứng minh CD 2 AM 2 AN 2 Câu 14: (1,0 điểm): Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bóng bất kì chỉ thi đấu với nhau một trận). Biết đội thứ nhất thắng a1 trận và thua b1 trận, đội thứ hai thắng a2 trận và thua b2 ... đội thứ 9 thắng a9 trận và thua b9. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 a 2 a3 ..... a9 b1 b2 b3 ..... b9 --------- hết --------- Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính casio
2. Hướng dẫn chấm I. PHẦN GHI KẾT QUẢ . Mỗi câu 1 điểm Câu 1 x = - 3; y = 5 Câu 2 145 Câu 3 Phải lấy ít nhất là: 23 + 30 + 3 = 56 (viên) Câu 4 A = 20 Câu 5 A = 7 Câu 6 (a + 3)(a + 2b - 3) Câu 7 (x; y) = {(3; 1); (1; 3)} Câu 8 9 Min M = 4 2 Câu 9 SABCD = 18cm Câu 10 Chu vi ABC bằng 24cm II. PHẦN TỰ LUẬN Câu với x 1; x 4; x 2 11a 2đ 3 1 2 x 3 1 2 x 0,5 P 2 : 2 : 2 x 3x 4 x 4 x 8x 16 (x 1)(x 4) x 4 (x 4) 0,5 3 (x 1) (x 4)2 P . 1,0 (x 1)(x 4) 2 x 2 x (x 4)2 x 4 P . (x 1)(x 4) 2 x x 1 Câu x 4 5 P 1 . Vì x nguyên nên P nguyên khi x+ 1 Ư(5) 11b x 1 x 1 0,5 1đ x 1 1 x 0 0,5 x 1 1 x 2 => . Đói chiếu đk => x = {0; - 2; - 6} x 1 5 x 4 x 1 5 x 6 Câu 12 Ta có a 2 b2 ab a b 1 0 2a 2 2b2 2ab 2a 2b 2 0 2đ 0,5đ (a 2 2ab b2 ) (a 2 2a 1) (b2 2b 1) 0 (a b)2 0 a b 2 2 2 2 a 1 1,0đ (a b) (a 1) (b 1) 0 (a 1) 0 a 1 2 b 1 (b 1) 0 b 1
3. a 1 3 4 0,5đ Thay vào M 5a b 2024 b 1 => M 5.13 ( 1)4 2024 2028. Vậy giá trị của biểu thức M= 2028 Câu 13 a) Chứng minh BI = CM A I B a) 2đ Xét BIO và CMO M · · 1,5 có OB = OC; IBO MCO ; O · · · IOB MOC(cùng phụ BOM ) E D C N => BIO CMO(g.c.g) 0,5 => BI = MC ( 2 cạnh tương ứng) b) 2 đ c) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AN cắt CD tại E Xét ADE và ABM, có AD = AB; Dµ Bµ 900 ; E· AD B· AM (cùng phụ D· AN ) 0,5đ => ADE và ABM (g.c.g) => AE = AM (1) 0,5đ Xét tam giác ANE vuông tại A có AD vuông góc NE có AD.NE AN.AE S => AD.NE = AN.AE AEN 2 2 1 NE2 => (AD.NE)2 = ( AN.AE)2 (2) 0,5đ AD2 AN2.AE2 Áp dụng định lý pytago ta có: NE2 = AN2 + AE2 (3) 1 AN2 AE2 1 1 1 0,5đ (2) và (3) => AD2 AN2.AE2 AD2 AN2 AE2 1 1 1 Vì AE = AM (theo (1)) và CD = AD đpcm CD2 AN2 AM2 Câu 14 Mỗi đội bóng lần lượt thi đấu với 8 đội bóng khác và hai đội bất kỳ 2đ chỉ gặp nhau 1 trận => mỗi đội sẽ thi đấu 8 trận => ai + bi = 8 (với i = 1; 2; 3; ...; 8) => bi = 8 - ai 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta có: a1 a 2 a3 ..... a9 b1 b2 b3 ..... b9 2 2 2 2 2 2 2 2 0,5 => a1 a2 a3 ..... a9 (8 a1) (8 a2) (8 a3) ..... (8 a9) 576 16(a a a ..... a ) 576 a a a ..... a 36 (1) 1 2 3 9 1 2 3 9 16 0,5 Mặt khác, tổng số trận thắng của các đội bằng tổng số trận đấu nên: 9.8 a a a ..... a 36 (2) 1 2 3 9 2 Từ (1) và (2) => đpcm Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa