Đề thi khảo sát HSG môn Toán 8 - Lần 5 - Năm học 2022-2023 - Trường TH&THCS Hồng Phương (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi khảo sát HSG môn Toán 8 - Lần 5 - Năm học 2022-2023 - Trường TH&THCS Hồng Phương (Có đáp án)

1. TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG ĐỀ THI KS HSG CẤP TRƯỜNG LẦN 5 MÔN TOÁN LỚP 8, NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1: (2,0 đ). Tìm x biết : (x2 x)(x2 x 1) 6 Câu 2: (2,0 đ) Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết nếu cộng ba tích, mỗi tích là tích của hai số trong ba số đó thì được 26. 1 Câu 3: (2,0 đ). Xác định số hữu tỷ a sao cho x2 a.x 5a2 chia hết cho x 2 a 4 Câu 4: (2,0 đ ) Cho M 19922 19932 19942 19952 . Hỏi M có là số chính phương không? Câu 5: (2,0 đ) Cho biểu thức B 201120224 4.201120223 2.201120222 12.20112022 9 Chứng minh rằng B là số chính phương. Câu 6: (2,0 đ) Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn x2 4y2 20 18y 2xy . Câu 7: (2,0 đ) Chứng minh rằng n3 (n2 7)2 36n chia hết cho 105 với mọi số nguyên n. Câu 8: (2,0 đ) Cho tam giác ABC, trọng tâm G, biết góc A = 1200 , AB = 4cm, AC = 6 cm. Tính độ dài đoạn thẳng GA. Câu 9:(2,0 đ) Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm D trên đáy BC vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt các đường thẳng AB, AC ở E, F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Chứng minh rằng A là trung điểm của HK. Câu 10:(2,0 đ) Mỗi số trong 100 số đã cho được cộng thêm 1. Sau đó mỗi số được cộng thêm 1 một lần nữa. Biết rằng ở lần đầu tiên , tổng các bình phương của các số là không đổi. Hỏi tổng này thay đổi thế nào ở lần thứ hai? --------------HẾT-------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay
2. TRƯỜNG TH&THCS HỒNG PHƯƠNG ĐỀ THI KS HSG CẤP TRƯỜNG LẦN 5 MÔN TOÁN LỚP 8, NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề. Câu Đáp án Điểm Tìm x biết : (x2 x)(x2 x 1) 6 Đặt (x2 x) y ta có 2 1 y y 6 0 0, 5 (2đ) y 3 0 y 3 y 2 0 y 2 0,5 Nếu y = - 3 ta có x2 x 3 0 (vô lý) Nếu y = 2 ta có 0,5 x2 x 2 0 nên x = 1 hoặc x = -2 0,5 Vậy x 1 hoặc x = -2 * 2 Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n-1; n; n+ 1 (n N ) (2đ) Theo bài ra: nếu cộng ba tích, mỗi tích là tích của hai số trong ba số đó thì được 26 nên ta có : 0,5 n(n+1) + (n-1).n + (n+1)(n-1) = 26 suy ra n = 3 1 Vậy 3 số cần tìm là: 2; 3; 4 0,5 1 Đặt f (x) x2 a.x 5a2 Xét đt f(x) chia cho x 2 a 4 Theo định lí Bezout ta có f(x) chia hết cho x + 2a khi f(-2.a) = 0 1 0, 5 ( 2a)2 a.( 2a) 5a2 0 4 0,5 1 3 4a2 2a2 5a2 0 0,5 (2đ) 4 1 1 a2 a 0.5 4 2 Vậy. Cho M 19922 19932 19942 19952 . Hỏi M có là số chính phương không? Ta có 19922 va19942 chia hết cho 4 Mà 19932 ;19952 chia 4 dư 1 0,5 Nên M chia 4 dư 2 0,5 4 Mà 1 SCP chia 4 không thể dư 2 nên M không là SCP 0,5 (2đ) 0,5 5 Cho biểu thức B 201120224 4.201120223 2.201120222 12.20112022 9 (2 Chứng minh rằng B là số chính phương. điểm) Đặt x = 20112022 khi đó ta có B x4 4.x3 2.x2 12.x 9 B x4 x3 5.x3 5x2 3.x2 3.x 9x 9 0,5 B (x 1)(x3 5x2 3.x 9) B (x 1)(x 1)(x2 6.x 9) 0,5
3. B [(x 1)(x 3)]2 0,5 Vậy B là số chính phương 0,5 6 Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn x2 4y2 20 18y 2xy (2đ) 2 2 (x y) 3(y 3) 7 (*) 0,5 Do x,y là các số nguyên nên (x y)2 ;(y 3)2 là các SCP Nên từ (*) suy ra (x y)2 4;(y 3)2 1 (x y)2 4;(y 3) 1 0,5 Nếu y – 3 = 1 thì y = 4. Khi đó (x 4)2 4 Suy ra x = -2 hoặc x = -6 Nếu y – 3 = -1 thì y = 2. Khi đó (x 2)2 4 0,5 Suy ra x = 0 hoặc x = -4 Vậy.... 0,5 Chứng minh rằng n3 (n2 7)2 36n chia hết cho 105 với mọi số nguyên n. Ta có: n3 (n2 7)2 36n n.[(n3 7n)2 36] (n 3)(n 2)(n 1)n.(n 1)(n 2)(n 3) 0,5 Trong 7 STNLT sẽ có 1 số chia hết cho 3, có 1 số chia hết cho 5, có 1 số chia hết 0,5 cho 7 Mà 3,5,7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên tích của 7 STNLT chia hết cho (3.5.7) Vậy n3 (n2 7)2 36n chia hết cho 105 với mọi số nguyên n. 0,5 7 0,5 (2 Cho tam giác ABC trọng tâm G biết góc A = 1200 , AB = 4cm, AC = 6 cm. Tính độ điểm) dài đoạn thẳng GA. Gọi AM là đường trung tuyến Kẻ BH vuông góc với AC, MK vuông góc với AC Lần lượt tính được AH = 2cm, HB 2 3 cm, MK 3 HC 0.5 HK 4 ; AK = 2cm 2 8 (2đ) Từ đó MA 7 0,5 2 2 7 Mà G là trọng tâm tam giác ABC nên AG AM (cm) 3 3 0,5 0,5
4. 9 (2 điểm) 0,5 0,5 0,5 0,5 10 (2đ) Gọi các số ban đầu là a1,a2 ,...,a100 Theo bài ra ta có Mỗi số trong 100 số đã cho được cộng thêm 1. Biết rằng ở lần đầu tiên , tổng các bình phương của các số là không đổi. 2 2 2 2 2 2 nên (a1 1) (a2 1) ... (a100 1) (a1 a2 ... a100 ) 0 0,5 (2a1 1) (2a2 1) ... (2a100 1) 0 0,5 (a1 a2 ... a100 ) 50 Sau đó mỗi số được cộng thêm 1 một lần nữa thì tổng này sẽ thay đổi một đại lượng là: 2 2 2 2 2 2 (a1 2) (a2 2) ... (a100 2) (a1 a2 ... a100 ) 0,5 (4a1 4) (4a2 4) ... (4a100 4) 4( 50) 400 200 0,5 Lưu ý: Trên đây chỉ là gợi ý một cách giải và dự kiến cho điểm tương ứng, nếu thí sinh giải bằng cách khác và đúng, các giám khảo dựa trên gợi ý cho điểm của hướng dẫn chấm để thống nhất cách cho điểm. Câu 8,9 học sinh không vẽ hình (hoặc vẽ hình sai) thì không cho điểm. Tổ chấm có thể thống nhất chia điểm đến mức nhỏ hơn trong hướng dẫn và đảm bảo nguyên tắc: điểm của mỗi câu làm tròn đến 0,25; điểm của cả bài là tổng điểm của cả 10 câu và không làm tròn. ---------Hết--------