Đề thi khảo sát HSG Toán 8 - Lần 2 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Hồng Phương (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi khảo sát HSG Toán 8 - Lần 2 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Hồng Phương (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LẦN 2 TRƯỜNG THCS HỒNG PHƯƠNG MÔN: TOÁN 8. NĂM HỌC 2021-2022 (Thời gian:120 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,5 điểm) a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A x3 2023x2 2023x 2022 b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x2 y2 4x 2y 5 0 c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1  59 Câu 2. (2,0 điểm) a. Chứng minh a2 b2 c2 2 ab bc ca , với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P x 5 x 7 x 9 x 11 16 là một số chính phương. Câu 3 (1.5 điểm): Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị. b) Rút gọn biểu thức P. Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB). Vẽ đường cao AH H BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a) Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC. b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. Câu 5 (1.0 điểm): Cho tam giác ABC có µA Bµ . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho H· AC ·ABC . Đường phân giác của góc B· AH cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng: CF // AE. Bài 6 (1,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình ----------------- Hết --------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
2. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC HDC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LẦN 2 TRƯỜNG THCS HỒNG PHƯƠNG NĂM HỌC 2021-2022 MÔN: TOÁN 8 Câu Nội dung Điểm 1 (2,5đ) a)Ta có: A x3 2022x2 2022x 2021 x3 1 2022x2 2022x 2022 0,25 0,5 x 1 x2 x 1 2022 x2 x 1 0,25 x2 x 1 x 2021 b) Ta có: x2 y2 4x 2y 5 0 x2 4x 4 y2 2y 1 0 0,25 x 2 2 y 1 2 0 x 2 0 x 2 0,25 y 1 0 y 1 Vậy x = 2; y=1 là các giá trị cần tìm. c) Ta có: A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 25.5n 26.5n 8.64n 5n 25 26 8.64n 0,25 n n n n 5 .51 8.64 5 59 8 8.64 0,25 59.5n 8.5n 8.64n 59.5n 8 64n 5n 0,25 Vì 59.5n 59 và 8 64n 5n  64 5 59 Vậy A59 (đpcm) 0,25 2 (2,0đ) a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có 0 a b c 0,25 0 b c a (theo bất đẳng thức tam giác) 0 c a b a2 a b c a2 ab ac 0,5 2 2 b b c a b bc ab 2 c2 ac bc 0,25 c c a b => a2 b2 c2 2 ab bc ca (đpcm) b) Ta có: P x 5 x 7 x 9 x 11 16 0,25 Đặt x2 16x 55 t x2 16x 63 t 8 0,25 Khi đó P t t 8 16 t 2 8t 16 t 4 2 0,25 2 2 0,25 Hay P x2 16x 55 4 x2 16x 59 Vậy với mọi số nguyên x thì biểu thức P là một số chính phương. 3 (1,5đ) a) Tìm điều kiện đúng: x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0,5 0,25 b) = 0,25 0,25 0,25
3. 5 Vậy với x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 thì P x x 5 4 (2,0đ) a) Chứng minh được: ABC đồng dạng với KPC (g-g) 0,75 PB b) Ta có: AQ KQ (Trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác 0,25 2 vuông). 0,25 Lại có: (Giả thiết). Do đó: QH là đường trung trực của AK. 0,25 5 (1,0đ) Ta có: C· EA Bµ B· AE H· AC E· AH C· AE CAE cân ở C CA = CE (1) Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF ở K. Ta có: BE AB AE là phân giác của ABH (3) EH AH AB CA CE CAH và CBA đồng dạng (theo (1)) (4) AH CH CH Từ (2), (3), (4) hay (đpcm) 6 (1,0đ) +) Với a, b, c, d dương, ta có (theo bất đẳng thức ) 0,5 +) Mặc khác: Suy ra và đẳng thức xảy ra ⇔ a = c; b = d +) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có: 0,25
4. Đẳng thức xảy ra ⇔ y = 2016; x = 2015 0,25 ----------Hết---------